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关于期末考试 于学生，一个学期最重要的似乎莫过于成绩了。秉持着临阵磨枪的优良传统，期末半个月几乎每日狂学（当然偶有偷懒的时候怎么十六周还做实验啊我操）。好歹是没有挂科，虽然分数不高但也满意（一天学完空气动力学70+什么实力我不说）。 于是又要“下定决心”说“下学期我一定好好学”这样唬人的假话了hhh 不过确实该学了，不然如何博士毕业呢？ 关于读博 我选择进入钱班本博通道，不是为了4+3提前毕业（虽然也没有这实力），也不是为了把握机会追求一个能带来更高薪、更高“社会地位”的学位。我想，当年将“Doctor”翻译成“博士”的人，想强调的是其背负“博学博闻”的名声，而不是其他。 虽说“劝人读博天打雷劈”，延毕郁郁比比皆是，我还是想试试做一些亲手创造的，前无古人的成果。不为“帽子”，不为“山头”，只是为着于人民有利，为人类有益。 就像我之前说的， 我对物质的要求仅是养活一家老小，以目前的情况看不难做到。但我对本科阶段的学识不满意，学四年似乎还没入门。 守着前贤几十几百年前就探索出来的知识生活在日新月异的新时代？放弃接触最前沿的学问安于养家糊口？我做不到。 鄙人不才或许一生在学术上难有建树，但绝不能舍弃人类开拓创新的勇气。至少要做个站在最前面的见证者，见证一代代人冲击物质与精神的桎梏，见证文明走出温和的摇篮，走向未知的深空。 我无法割舍获取新知的快感， 因为我已经触碰过天空了。 今日的大话说的够多了，打心底我也不觉得自己真有改变些什么的能力，大抵最后碌碌无为成为灌水勉强毕业的学术垃圾。 但总归是要试试的，是要去做的，因为山就在那里。 关于家庭 说完严肃的话题，该聊些轻松的。 八月母亲在武汉同济手术，我去陪了半个月实在是没好意思说是照顾，切除子宫后修养两个月，精神好些。然后又去早起晚归工作了，唉。 家里并无太多牵挂，一切如常。 有点想念冬日里奶奶煮的鸡蛋糖水。 关于朋友 在学校的日子一如往常，除了一个电赛并无太多波澜。朋友们还是老样子，喜欢的人过得很好，大家各有各的生活。 天之涯，地之角，知交半零落。 关于匈牙利之行 报名了空间院寒假的欧布达大学访学项目，来这儿待了两周，准备回去了。 学些没什么用的AI应用，确实和我未来的学习没多大关系，也不指望真学到什么屠龙术。 刚来的几天白人饭很难吃，完全无法想象这儿人怎么活下去的。后面伙食渐渐好起来了，去本地的地道馆子吃了goulash（一种牛肉疙瘩汤，加了土豆胡萝卜之类的），确实好吃。这里的猪肘子更是一绝，大份又好吃但为什么翻译过来是趾关节？ 牛排就算了，默认五分熟不到，切不动嚼不烂。最常见的干巴面包也不行，蔬菜沙拉石中石。 另一个印象深的是厕所，目前所有见过的厕所都干净得很，有人定期打扫放卫生纸，洗手用的清洁剂、烘干器和擦手纸一应俱全（omg），宿舍的厕所甚至有冲洗马桶用的花洒喷头和泡洁厕灵里的马桶刷子。所有水龙头都24h冷热水供应，暖气遍布以至于室内常常太热。 唯一遗憾的是几乎没有公厕，有些地方厕所收费。 唉，发达国家有钱，资源使劲造。一想到国内许多北方村民冬天没钱买暖气，南方许多人夏天开不起空调，我就心里难受。 世界上受苦受难的人太多了，同志仍需努力。 买了些地道东西带回去，但怕有朋友先看见破坏神秘感，就不说了。 尾言 明天回国过年，心里十分想念。 剩余一半的寒假应该好好学一下《通信原理》（也许会，也许不会）。 祝新年快乐，岁岁平安。 2025.1.24
东方红 中流击水声远空，但闻江水夜夜隆。 人皆旭日岂年少，万里河山万里红。 2024.12.26 于西安
——谨以此诗，献给我生命中那颗Polaris 一位可爱的旅人途经一片无人欣赏的风景，她带来这异域的暖风吹过干涸的田野，拂过树梢又在湖面荡漾出波光粼粼。 果树们纷纷为这美人倾倒，急急忙忙开花又结果；林中的鸟儿四处寻觅为数不多的花枝，编成花环戴在她头上。 旅人漫步于这落英缤纷，盛情难却，摘下几个鲜红的果实；又不好意思一味索取，便掏出口袋里所有鲜花的种子，播撒在所有龟裂的地皮。 唯有田野荒芜，他羞涩又内疚——有什么可以拿出来献给这位可爱的姑娘吗？ 他使出吃奶的力气催促花种们快快长大，希望能让她看到田野里盛放的鲜花。 可旅人注定不会在这儿久留——这里的风景确实很好，树和鸟儿都很殷勤，只是，这里不是一个适合当家的地方。 旅人走了，果树、鸟儿、田野都有些不舍。 田野的花儿还是没有送出去，可能下一位旅人到来就能看到一座美丽的花园吧。 但大家并不为此感到悲伤， 因为春天来过。 冬去春来，秋去冬来。 果实变成小小的果树，雏鸟刚刚学会飞翔；年轮缠上树干，夏雨将羽翼洗的锃亮。 田野悉心照料的花园里，最后一朵菊花开过了花期，空杆叶随寒风摆动。 这片土地不再荒芜，过去的几个季节，旅人带来的种子抽芽破土而出，按商量好的花期依次向世界展示她们的美丽。饮晨露，沐朝阳，舞清风，枕月光。 春天，田野用栀子花和山楂花做了一顶纯白的花环，像旅人的白裙子一样美。 夏天，田野用紫薇和木槿做了一个花篮，可惜木槿朝开暮落，像旅人匆匆离开。 秋天，田野想用桂花和菱叶菊铺一张花床，秋风却不解风情一次次卷走了桂香。 鲜花们带着使命畅享短暂的生命，在尘土中准备下一次远航。 旅人再也没有回来，她不知道自己随手洒下的种子已然长成一片花园，而田野也始终没有机会献上他的礼装。 冬去春来，秋去冬来。 田野期待一场雪，给底下的花种盖上温暖的被子。若是来年旅人再次来到这世外桃源，这花园可配得上那可爱的姑娘。 初冬的细雨里，他悄然睡下，梦到十月最后一批蒲公英乘风出发，快要追上旅人的双颊。 “你不害怕花种撑不过冬天吗？”树和鸟儿这样问田野，此刻的田野又变得光秃秃空无一物。 “没关系，我已经见过春天了。” 因为春天来过。
序 国庆随《黑神话·悟空》游山西，历晋南晋城、临汾、运城三市，作诗词五首，简记之。 晋南行·其一 门掩残塑去，檐出金铎来。 点染翠林乱，泼墨碧裙开。 新枝攀朽木，老壮携幼孩。 徽因应有泪，千年可留白？ 孤筝 2024.10.2 晋城玉皇庙、府城关帝庙、青莲寺 玉皇庙二十八星宿等殿均禁闪光灯，佛像隐于铁栅栏后，许些漆迹剥落，乃至缺首断足。令人遗憾。 府城关帝庙中塑像几乎都是现代新作，手艺拙劣叫人倒胃口。倒是建筑值得一看。 青莲寺山高路远，沿途风景极好，秋日山青水碧，少许红黄阔叶点缀其间，万里无云，是锦绣福地。 晋南行·其二 倦起青帝未点班，急腾晨雾破晓寒。 才渡人海窥佛面，又登林云访伽蓝。 九尊金身九菡萏，三进相门三净坛。 未及鳞霞收暮色，已是轻骑跃重山。 孤筝 2024.10.3 晋城开化寺、铁佛寺、定林寺 大早上赶公交到高平，先逛开化寺，再回铁佛寺。铁佛寺新开放不久，人满为患，又深居小村小院。排队一小时余，得窥佛面两分钟。幸而排队遇一家三口，父母开明，不拒二次元和游戏。唉，神仙父母无处寻也。（女儿双马尾好可爱wwww） 定林寺莲花藻井亦是近期才重新开放，有幸遇上，确实好看。 晋南行·其三 水调歌头 宝相食香禄，石碑浸风尘。敢问座下丘列，诵经可达神？已削青丝断欲，又弃酒肉濯宇，笑面谨藏嗔。空识五蕴律，不解无明身。 假金铙，修禅庙，弄愚生。诳语功德，却效如来释大乘。许利好收虔众，劝善难得信笃，八戒误沙门。司磬称富贵，伪佛度俗僧。 孤筝 2024.10.4 临汾小西天 八戒：一戒杀生，二戒偷盗，三戒淫，四戒妄语，五戒饮酒，六戒着香华，七戒坐卧高广大床，八戒非时食。 黄眉：不杀生，仇恨永无止息；不偷盗，强弱如我何异；不邪淫，一切有情皆孽；不妄语，梦幻泡影空虚；不馋酒，忧怖涨落无常；不耽乐，芳华刹那而已；不贪眠，苦苦不得解脱；不纵欲，诸行了无生趣。 小西天下寺没啥看头，都是些求财求子的善男信女烧香拜佛。那尼姑（？存疑）坐一旁敲磬看跪拜，口中不停说包佑日入一个亿一千万什么的，讽刺至极。 上寺大雄宝殿内悬塑，规格规模具是惊人。可惜人太多了没多少时间细看。我去晚了没拿到山西官方通关信物明信片，略有遗憾。 晋南行·其四 古刹踞平阳，三震隐佛光。 巍巍琉璃塔，缈缈罗汉堂。 求经凭功禄，祈雨赖人王。 一藏传东土，贞观起盛唐。 孤筝 2024.10.6 临汾广胜寺 洪洞县广胜寺，下寺有雨神庙，左右满壁画，保存不甚完好。殿内光线阴暗，看不真切。左右偏房有官方扫描件，色彩鲜明，神采俱备，可称佳品。 上寺重看飞虹塔，宝塔遍身琉璃。仅开放一层，内里无甚可观之处。 后院天中天殿有三尊大佛，高十余尺，身形秀丽，是为一绝。 晋南行·其五 鹳雀楼幸遇未陶然有寄 生来不是酒中仙，落墨皴眉把字研。 鹳雀楼上斗之涣，太行山下思教员。 君作人间逍遥客，我困象塔长少年。 或历天地无存所，且将诗债换酒钱。 孤筝 2024.10.6 运城永乐宫、广仁王庙、鹳雀楼、关帝庙 运城跟团游，时间紧地点多，都没来得及细看。至鹳雀楼时，观一小摊书“卖原创诗集”大字。逛毕新楼，回看诗集，久震余惊。未陶然受大理女诗人影响重走文学路，我也曾写过不少诗，多是闲来拙笔，倒也未想过以此为生计。 高中将作诗、摘诗的底稿送出，分手后，再也没怎么写过诗了。一是沉迷游戏现实，没读什么书，既无诗才也无勤心，落笔干涩终不满意。二是心境迷蒙，顾当世如雾里看花，既无透劲亦无清明，活得浑浑噩噩。三是久居象塔经历平平，无喜无悲，难有诗情。 后记 晋南三城各有特色。 晋城繁华，公交发达，有专线通往各个景点。初到市区，一路灯火通明。 临汾奇异，连客运站周围都黑的很，景点离城区远且没有公交专线，包车花费较大；公共厕所有特色，我骑青桔电动车打卡二十余，无一相同。 运城热闹，主路也好小路也罢，商铺小店小摊挤满了，听说还有南北两集市（运城包子好吃，小馆实诚）。
“妈妈这个世界真的会有女孩喜欢我吗？” “当然啦第一次见你我也才20多岁。” 中秋节将近，给家人打个电话吧。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。 但愿人长久，千里共婵娟。 但愿人长久，但愿人长久，但愿人长久。
前言 第一版前言 [[2024-09-14]] 今天补考终于结束了，听说正考直接放原卷，这几天刷了三套网上得来的“西电原卷”（21 年和两套 23 年）。上午刷的 21 年题，下午 $\frac{1}{4}$ 是一个字不改的原题，我都看笑了。 戴浩当年说尽力给钱班找最好的老师，现在看来数统院没人了？讲课不行可以说是重心不在教学、天赋不在教书；出套卷子直接搬旧题，还是近几年的，题也没审错漏百出，给我气笑了。 自己出的卷子毫无含金量，自己也不做做看。这是态度问题。 你电期末考试放水挺好的，但不要总是拿老本糊弄人。对学生大谈创新，对自己能混就行。这不是做学术的态度，更不是教书应有的态度。 概率论就此告一段落，这两天反复看笔记刷题订正不少错误，也明晰了这门课的知识结构。虽然内容仍然偏少，但作为期末复习的材料大抵足够，这版就作为终版吧（大概）。 中秋继续整理电动力学和数字信号处理。 第二版前言 Nothing is final!!! ——钱学森 补充了分布函数左右连续问题，看来这门课离 final 还有很远…… 事件运算转逻辑运算 $A \cup B=A+B$ $A \cap B=A \cdot B$ $A-B=A \bar{B}$ $A$ 事件发生 $B$ 事件不发生，由韦恩图易证。 可以将 $-B$ 理解为 $\cdot (-B)$ ，$-B$ 即为 $\bar{B}$ 若 $A \subset B$ ，$A \cup B=B,A \cap B=A$ 事件运算转逻辑运算后，大部分法则共通。 运用数电中学到的逻辑函数运算与化简，可将复杂事件运算化简。 Tips：卡诺图 四大事件概率公式 $$ \begin{cases} P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A \bar{B})\\ P(AB)=P(B) \cdot P(A|B)=P(A) \cdot P(B|A)\\ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\\ \end{cases} $$ 推论 $P(A+B+C)$ ，将 $A+B$ 看成一个事件，运用上面的加法公式，两次拆分得到： $$ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) $$ 更多和事件概率可依此递推得到。 对立事件：$A$ 不发生的概率，韦恩图一目了然。 $$ P(\bar{A})=P(1 \cdot \bar{A})=P(1-A)=P(1)-P(1 \cdot A)=1-P(A) $$ 非负性与规范性 非负性：对于任意事件 $A$ ，$0 \le P(A) \le 1$ 。 规范性：对于总事件 $\Omega$ ，$P(\Omega)=1$ 。 相互独立 $$ \begin{cases} P(AB)=P(A) \cdot P(B)\\ P(A|B)=P(A) \end{cases} $$ 独立必相互独立。 古典概型 各基本事件发生概率相等。 Eg. 抛硬币，掷骰子…… $$ P(A)=\frac{A包含基本事件数}{\Omega 中基本事件数} $$ 古典条件概率公式 $$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{同时在A,B中的基本事件数}{A包含基本事件数} $$ 伯努利概型（二项分布） $n$ 次独立实验，每次实验只有 $A,\bar{A}$ 两种结果。 $X \sim B(n,p)$ $$ P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} $$ 其中，$p=P(A),1-p=P(\bar{A})$ 几何概型 事件 所占线/面/体积 部分与整个 线/面/体 的 长度/面积/体积 比值。 当事件所占空间维度低于总事件空间 $\Omega$ 维度时，该事件概率恒为 0 。 ==Warning==：事件概率为 0 不代表一定不发生。 Eg：随机选中圆内某点，选中任意点概率为 0，但都可能发生。 均匀分布 $x \sim U(a,b)$ 近似为几何分布中的线性分布，各点处概率密度： $$ f(x)= \begin{cases} 0,x \le a\\ \frac{1}{b-a},a < x \le b\\ 0,x>b\\ \end{cases} $$ 分布函数： $$ F(x)= \begin{cases} 0,x \le a\\ \frac{x-a}{b-a},a<x \le b\\ 1,x>b\\ \end{cases} $$ 指数分布 $x \sim E(\lambda)$ 概率密度 $$ f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x \le 0\\ \end{cases} $$ 分布函数 $$ F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x},x \ge 0\\ 0,x<0\\ \end{cases} $$ 泊松分布 $X \sim \pi(\lambda)$ $$ P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} $$ 正态分布 $x \sim N(\mu,\sigma^2)$ 概率密度 $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},x \in R,\sigma>0 $$ 分布函数 $$ F(x)=\int^{x}_{-\infty}f(t)dt $$ 显然，$F(\mu)=\frac{1}{2}$ ，即 $P(x \le \mu)=P(x>\mu)=\frac{1}{2}$ 。 标准正态分布 当 $\mu=0,\sigma=1$ 时，此分布为标准正态分布。 $$ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} $$ $$ \varPhi(x)=\int^{x}_{-\infty}\varphi(t)dt $$ 推论 $$ \varPhi(-x)=1-\varPhi(x) $$ $$ F(x)=\varPhi(\frac{x-\mu}{\sigma}) $$ 正态分布标准化： $$ X \sim N(\mu,\sigma^2),Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) $$ 全概率公式 完备事件组 $$ \begin{cases} B_1 \cup B_2 \cup B_3 \cup \cdots \cup B_n=\Omega\\ B_i \cap B_j=\varnothing,i \ne j,1 \le i \le n,1 \le j \le n\\ \end{cases} $$ 称 $B_1,B_2,B_3,\cdots B_n$ 构成 $\Omega$ 的一个完备事件组。 全概率公式 $$ \begin{align} P(A) &=P(AB_1 \cup AB_2 \cup \cdots \cup AB_n)\\ &=P(AB_1)+P(AB_2)+\cdots +P(AB_n)\\ &=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+\cdots +P(B_n)P(A|B_n)\\ \end{align} $$ 贝叶斯公式 $$ P(B_1|A)=\frac{P(AB_1)}{P(A)}=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)} $$ 一维离散型随机变量 分布律 $$ P(X=x_i)=p_i=\frac{X=x_i情况数}{总情况数},i=1,2,\cdots $$ 分布函数 $$ F(x)=\sum_{x_i<x}p_i,x \in R $$ 一维连续型随机变量 概率密度 $$ f(x)=F'(x) $$ 分布函数 $$ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt $$ 区间概率 $$ P(a<x \le b)=\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) $$ $\because$ $P(x=a)=0,a \in R$ $\therefore$ 区间两边等号随意取 规范性 $$ F(\infty)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x)dx=1 $$ $$ F(-\infty)=0 $$ 二维离散型随机变量 联合分布律 $P(X=x_i,Y=y_j)$ 将 X，Y 可能取值列二维表，填入对应概率。 边缘分布律 $P(X=x_i),P(Y=y_j)$ 将联合分布律的行/列相加，得到 $f_Y(x),f_X(y)$ 条件分布 $P(X=x_i|Y=y_j),P(Y=y_i|X=x_j)$ 联合分布率每行/列除以该行/列对应的边缘分布律。 即每行/列的联合分布率化为成比例项，各项和为 1。 两变量独立性 ==此处的独立性指的是线性无关，不代表完全独立无关。== 将联合分布表写成矩阵 $\vec{A}$ ，当 $\det \vec{A}=0$ 时 X 与 Y 独立。 Or：联合分布表各行/列成比例时 X 与 Y 独立。 Or：联合分布率 $\ne$ 边缘分布率乘积，即 $P(X=x_i,Y=y_j)\ne P(X=x_i)P(Y=y_j)$ 时，X 与 Y 不相互独立。 二位连续性随机变量 联合密度函数 $$ f(x,y) $$ 规范性 $$ \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1 $$ 边缘密度函数 $$ f_X(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x,y)dy $$ $$ f_Y(y)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x,y)dx $$ 条件密度 $$ f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} $$ 独立性 $$ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) $$ 满足以上条件时，X 与 Y 相互独立。 分布函数 设 $Z=X-Y$ ， $$ \begin{align} F_Z(z) &=P(Z<z)\\ &=P(X-Y<z)\\ &=P(X<Y+z)\\ &=\int^{y}_{-\infty}\int^{y+z}_{-\infty}f(x,y)dxdy\\ \end{align} $$ 即分布函数 $F_Z(z)=\iint_Df(x,y)dxdy$ 。由分布函数求导得概率密度函数 $f_Z(z)$ 。 ==Warning==：$F_Z(z)$ 满足规范性。 期望与方差 关系式 $$ DX=EX^2-(EX)^2 $$ $$ D(cX)=c^2DX $$ $$ D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) $$ X 与 Y 相互独立时 $Cov(X,Y)=0$ 。 常见期望与方差 $(0,1)$ 分布 $$ EX=p,DX=p(1-p) $$ $B(n,p)$ 二项分布 $$ EX=np,DX=np(1-p) $$ $U(a,b)$ 均匀分布 $$ EX=\frac{a+b}{2},DX=\frac{(b-a)^2}{12} $$ $E(\lambda)$ 指数分布 $$ EX=\frac{1}{\lambda},DX=\frac{1}{\lambda^2} $$ $P(\lambda)$ 泊松分布 $$ EX=\lambda,DX=\lambda $$ $N(\mu,\sigma^2)$ 正态分布 $$ EX=\mu,DX=\sigma^2 $$ 协方差与相关系数 协方差 $$ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) $$ 显然，$X=Y$ 时，$Cov(X,X)=DX$ 。 $$ Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) $$ $$ Cov(X-Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(-Y,Z)=Cov(X,Z)-Cov(Y,Z) $$ 相关系数 $$ \rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX \cdot DY}} $$ $|\rho|$ 越大，相关性越强。 $Y=X$ 时，$X$ 与 $X$ 相关性最强，得到 $\rho=1$ 。 $Y=-X$ 时，$-X$ 与 $X$ 相关性最强，得到 $\rho=-1$ 。 显然 $|\rho| \le 1$ 。 $\rho=0$ 时 $X$ 与 $Y$ 不相关。 ==Warning==：不相关 $\nRightarrow$ 独立，独立 $\Rightarrow$ 不相关。 切比雪夫不等式估计概率 $$ P(|X-EX|\ge \varepsilon)\le \frac{DX}{\varepsilon^2} $$ 中心极限定理 大量独立变量同分布，可近似为正态分布。 若 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 独立且同分布，则 $$ \sum_{i=1}^nx_i \sim N(\sum^{n}_{i=1}E(x_i),\sum^{n}_{i=1}D(x_i)) $$ 三大分布 $\chi^2$ （卡方）分布 $$ X=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2 \sim \chi^2(n),x_i \sim N(0,1)且相互独立 $$ 上 $\alpha$ 分位点 $\chi^2_\alpha(n)$ 密度函数在第一象限 $t$ 分布 $$ X=\frac{x_1}{\sqrt{x_2/n}}\sim t(n),x_1 \sim N(0,1),x_2 \sim \chi^2(n),x_1与x_2相互独立 $$ 上 $\alpha$ 分位点 $t_\alpha(n)$ 密度函数形似正态分布，左右对称 $F$ 分布 $$ X=\frac{x_1/n_1}{x_2/n_2} \sim F(n_1,n_2),x_1 \sim \chi^2(n_1),x_2 \sim \chi^2(n_2),x_1与x_2相互独立 $$ 上 $\alpha$ 分位点 $F_\alpha(n_1,n_2)$ 密度函数在第一象限 估计法 简单随机样本相互独立且同分布时，估计未知参数。 矩估计法 样本量较大时，将样本近似为平均分布，样本均值替代总体均值（总体矩=样本矩）。 根据所给分布律/密度函数求出期望 $EX$ （一阶总体矩） 根据所给样本求样本均值 $\bar{X}$ （一阶样本矩） 令 $EX=\bar{X}$ 解出 $\theta_0$ 即为 $\hat{\theta}$ 最大似然估计法 估计值使得样本发生概率最大。 样本似然函数： $$ L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta)= \begin{cases} P(X=x_1)P(X=x_2)\cdots P(X=x_n),离散型\\ f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)\cdots f(x_n;\theta),连续型\\ \end{cases} $$ 求 $L$ 最大值，即求导得其驻点。因连乘求导繁琐，先将其化为对数形式后对未知参数 $\theta$ 求导。 $$ (\ln L)'= \begin{cases} (\ln P_1+\ln P_2+\cdots +\ln P_n)',离散型\\ [\ln f(x_1;\theta)+\ln f(x_2;\theta)+\cdots +\ln f(x_n;\theta)]',连续型\\ \end{cases} =0 $$ 解出驻点 $\theta_0$ ，即为估计值 $\hat{\theta}$ 。 无偏性与有效性 若 $E(\hat{\theta})=\theta$ ，则称 $\hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计。 若 $\hat{\theta_1},\hat{\theta_2}$ 均为无偏估计，且 $D(\hat{\theta_1})<\hat{\theta_2}$ ，则称 $\hat{\theta_1}$ 比 $\hat{\theta_2}$ 更有效。 区间估计 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ，通常将给定的 $\bar{X}=\mu,S=\sigma$ 。 置信度：$1-\alpha$ ，通常 $\alpha=5\%$ 。 求 $\mu$ 置信区间 $\sigma^2$ 已知 枢轴量（标准化）： $$ \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) $$ $$ \mu \in (\bar{x}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{\frac{\alpha}{2}},\bar{x}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{\frac{\alpha}{2}}) $$ $\sigma^2$ 未知 枢轴量： $$ \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) $$ $$ \mu \in (\bar{x}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\bar{x}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)) $$ 求 $\sigma^2$ 置信区间 通常 $\mu$ 未知。 枢轴量： $$ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) $$ $$ \sigma^2 \in (\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}) $$ 假设检验 一般取 $\alpha=5\%$ $\mu$ 检验 提出假设 $H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu \ne \mu_0$ 选择检验统计量（枢轴量） $\sigma^2$ 已知，选择 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ ，为 U 检验 $\sigma^2$ 未知，选择 $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$ ，为 T 检验 根据选择的枢轴量求得拒绝域 $W=(-\infty,-\mu_{\frac{\alpha}{2}})\cup (\mu_{\frac{\alpha}{2}},\infty)$ $W=(-\infty,-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))\cup (t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\infty)$ 若根据 $\bar{X}$ 计算所得枢轴量在 $W$ 内，假设 $H_0$ 不成立。 $\sigma^2$ 检验 $$ S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{X})} $$ 提出假设 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,H_1:\sigma^2 \ne \sigma_0^2$ 选择检验统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$ ，为$\chi^2$ 检验 求得拒绝域 $W=(0,\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)) \cup (\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\infty)$ 若根据 $S$ 计算所得枢轴量在 $W$ 内，假设 $H_0$ 不成立。 补充 分布函数 对于连续型随机变量，分布函数连续。 对于离散型随机变量，由于不同教材对分布函数定义不同，有左连续或右连续情况。 左连续 $$ F(x)=P(X<x) $$ 在此定义下 $$ F(x)=F(x^-)=F(x-0)=P(X<x) $$ $$ F(x^+)=F(x+0)=P(X<x)+P(X=x) $$ 当 $P(X=x)\ne 0$ 时，显然 $F(x^+)>F(x)=F(x^-)$ ，此时分布函数左连续而右不连续。 右连续 $$ F(x)=P(X \le x) $$ 在此定义下 $$ F(x)=F(x^+)=F(x+0)=P(X \le x) $$ $$ F(x^-)=F(x-0)=P(X \le x)-P(X=x) $$ 当 $P(X=x)\ne 0$ 时，显然 $F(x^+)=F(x)>F(x^-)$ ，此时分布函数右连续而左不连续。 抛硬币举例 抛一次硬币，正面计 1，反面计 0 。 X 是一维离散型随机变量 $$ \begin{cases} P(x=0)=0.5\\ P(x=1)=0.5\\ P(x=others)=0\\ \end{cases} $$ 由此得 $$ \begin{cases} P(x<0)=0\\ P(0 \le x < 1)=0.5\\ P(x \ge 1)=1\\ \end{cases} $$ 当设分布函数为 $F(x)=P(X<x)$ 时， $$ F(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0\\ 0.5, & 0 < x \le 1\\ 1, & x>1\\ \end{cases} $$ $F(0^-)=F(0)=0$，$F(0^+)=0.5$，$x=0$ 是间断点，左连续而右不连续。
“我有一个梦，也许有一天，灿烂的阳光能照进黑暗森林。” 这时，这里的太阳却在落下去，现在只在远山露出顶端的一点，像山顶上镶嵌着的一块光灿灿的宝石。孩子已经跑远，同草地一起沐浴在金色的晚霞之中。 太阳快落下去了，你们的孩子居然不害怕？ “当然不害怕，她知道明天太阳还会升起来的。” 晚安。
前言 俗话说的好，美化的尽头是默认。 虽然默认的 Windows 已经能高效地胜任各项工作，但它确实 ugly 啊。 在拥有一台性能过剩 PC 的情况下，适度追求美化和简化，满足本私斋的高端审美是极有必要的（） 下面来说说我在用/用过的美化软件/方案。 当前桌面方案 TranslucentTB：任务栏透明/亚克力效果 Sapphire：桌面图标交互优化 Wallpaper Engine：为减少 GPU 消耗和内存占用，只选了 Blue Archive 中 Noa 的记忆大厅作为壁纸，几秒的 4 K 视频，整个 Wallpaper 内存占用约 100 Mb。 Rainmeter：只用了一个音频条作为美化，因为 Noa 已经够美了😋 原来用过查看硬件信息的组件，发现除了增加焦虑外没什么用，遂放弃。 QQ 美化、网易云音乐美化、光标美化、Obsidian 主题、插件安排上。再加上 Edge 浏览器的 iTab 标签页和各类实用插件，目前的工作流完全舒适。 贴几张图 在以上正常工作流下，内存占大头的是浏览器，GPU 消耗主要来自 wallpaper，从登录到完全自启动耗时 10s 内，均在可接受负载范围内。 配置： 12400 F 7700 XT 32G DDR4 2K 180Hz HDR显示器 Windows 11 专业版 23H2 QQ 美化 ==特别推荐！== QQ 是大部分中国人不得不用又恨之入骨的东西——广告、弹窗、不想看的娱乐页面、花里胡哨功能性差的界面。 Windows 端自从推出 QQ 9，上述情况改善了不少，然而恶心人的东西最近逐渐加回来了，只能说本性难移。 为了不被迫在这个常用软件上天天吃屎，伟大的具有开源精神和折腾精神的中文互联网人纷纷投入 QQ 改造计划，而今天我要介绍的就是其中一个伟大项目——LiteLoaderQQNT。 好了说正事，liteloader 是 QQNT 的插件平台，安装后可以下载众多插件。 GitHub 项目地址：LiteLoaderQQNT: QQNT 插件加载器：轻量 · 简洁 · 开源 · 福瑞 部分推荐插件如下： PluginInstaller：LiteLoaderQQNT 插件安装器，可检查更新和一键安装/重启。先安装这个再安装其他插件省事很多。 LL-plugin-list-viewer: LiteLoaderQQNT Plugin 插件列表查看·安装·更新。收录了大部分插件，可直达 GitHub 项目地址。安装功能存在问题，部分插件需要手动安装和更新，否则会报错无法启动 QQ，建议作为插件/主题查看器。 轻量工具箱 —— 轻量 · 优雅 · 高效 · 福瑞：聚合了大量功能的工具箱，免于四处寻找插件。部分可选功能如下： 美化聊天界面实现类 tg 效果（显示头像，加时间戳，消息靠左等） 移除称号、VIP 、推荐标签等乱七八糟的东西。 右键快捷搜索文字/图片，消息转图片发送 选项高亮，特殊消息高亮 小程序分享转 URL 卡片，记录离开时位置，快捷+1（复读机） 消息预览：根据消息中第一个链接生成一张类 tg 的预览卡片 本地表情 消息后缀 撤回消息缓存并高亮 设置背景，调整亮度、透明度，可加磨砂等效果 精简侧边栏，所有功能可开关 输入框、消息框功能开关 …… 二维码解析：对 QQNT 聊天中的图片进行二维码解析 使用自定义浏览器打开链接并跳过拦截页 将 DeepL 翻译接入你的 QQNT Markdown：为 QQ 添加 Markdown 渲染支持。发出的消息只有安装了该插件的 QQNT 能渲染 markdown，所以大部分情况下没用。 Kill-Update：关闭 QQ自动更新弹窗，有些插件不会第一时间支持最新版 QQ，所以禁止更新是有用的。 window-on-top：让窗口有置顶功能 还有一些主题我没有介绍，因为去除垃圾之后部分美化的 QQNT 已经很好看了。 另外 ChatGPT 等 AI 接入插件也有，懒得折腾 API（没钱）。 网易云音乐美化 ==特别推荐！== 众所周知，国内几大音乐平台巨头都在走复杂化、流量化路线，今天加一个社区，明天加一个短视频，长期 VIP 跳脸。 作为听音乐的软件，有几项基本功能就够了。国内外都有很多做得好的音乐播放器，但“播放器”和“音乐平台”之间还是有很多差距的。比如便捷搜索歌曲，查看评论，一起听等。建立歌单、关注歌手、充值购买等沉没成本也迫使用户继续吃屎。 我一直用的网易云音乐有一群伟大的互联网人做了插件，美化后确实美观好用。 首先是插件平台 betterncm 官网：MicroBlock | BetterNCM GitHub 项目地址：GitHub - MicroCBer/BetterNCM: NCM 软件插件管理器 社区：关于 BetterNCM 最全面的介绍以及疑难解答 - 飞书云文档 优点是安装 betterncm 后，所有的主题、插件可以从网易云内平台下载、更新，不用一个个去查找翻 GitHub。 推荐主题： Materia You：比较简洁的主题，纯色背景没有背景图片。配色方案多样。 推荐插件： RoundCornerNCM：网易云音乐窗口圆角，仅 Windows 11。 MikuPlugin：管理各元素是否显示，可以关闭恼人的视频、直播等元素。 类苹果歌词：将歌曲页面改为类 Apple Music 的样式，还可更改歌词源。 这首歌的封面是什么？：歌曲列表添加封面，增加储存占用，易造成卡顿 RuLyrics：桌面歌词插件，支持逐词，主副歌词，更改字体，分别更改前景色（已唱）、背景色（未唱），支持嵌入任务栏（与 TranslucentTB 同时使用似乎有点问题） 更多好用插件自行探索下载 部分插件对其他插件有依赖、冲突，注意在 GitHub Issues 查看甄别。 Wallpaper Engine ==必备好物！== 鼎鼎大名的万能小红车，开启××√享受崭新人生（bushi） 作为最常用最好用的壁纸软件，wallpaper 有许多优点： 资源丰富。steam 创意工坊每时每刻都有大量优质壁纸上架，且几乎全部免费下载使用。 资源种类多。视频、图片、动图、网页……壁纸种类极多，且不少壁纸功能丰富，聚合了音乐歌词、特效、频谱等功能，一键装点桌面。 找资源方便。Wallpaper 搜索和筛选规则完善丰富，可筛选壁纸分辨率、类型、适用年龄等。 使用简便。基于 steam 创意工坊，能访问 steam 就能下载壁纸，无需翻墙，下载速度有保障。大部分壁纸，即使功能复杂，在 wallpaper 界面也能轻松设置。 串联手机。Wallpaper 推出了安卓应用，可通过 PC 向手机传输使用壁纸。 Warning：部分复杂特效网页、高清视频壁纸较为消耗 GPU 性能，占显存较多。可以在 wallpaper 设置里调整帧率、特效和应用行为等改善。 唯一的缺点是在 steam 购买 wallpaper 需要 19 RMB，不过这价格真不高吧。 Steam：Steam 上的 Wallpaper Engine：壁纸引擎 TranslucentTB ==特别推荐！== 任务栏透明工具，可以全透、亚克力、不透，换主题色等。 占用内存、储存极小，几乎不消耗 CPU 性能。 GitHub 项目地址：GitHub - TranslucentTB GitHub 中文翻译项目地址：GitHub - kasuganosoras/TranslucentTB-CN Rainmeter ==特别推荐！== 久负盛名的桌面组件工具，可以自制功能多样的小部件放在桌面，也可以方便地导入他人制作的部件（即皮肤）。 常见的功能有： 显示 CPU、GPU、内存等硬件信息（实时更新） 音频识别生成各式各样的律动频谱条 媒体播放器 一键追番、查看新番 放置图片、轮播图库等 …… 缺点 组件放多了会卡 部分组件资源消耗大 选择太多了需要折腾 官网：Rainmeter 中国官网：个人分享 Rainmeter GitHub 项目地址：GitHub - rainmeter 中国社区：雨滴美化社区 Start 11 任务栏及开始菜单美化工具 可以将开始菜单改为 Windows 7-11 的风格，可改变颜色、透明度、间距、对齐方式等。 高级索引功能：与 Edge 浏览器配对时，打开的选项卡也会显示在搜索内容中，最常用的内容在结果中的显示位置会更高。移除本地搜索结果旁边显示的 Web 内容的选项！ 更改开始按钮图标，开始菜单背景图，任务栏颜色、纹理。 缺点 付费 我用起来有卡顿、启动慢等现象。 和 TranslucentTB 不兼容。 官网终身版售价 35 RMB，小贵，30 天免费试用。有许多代理，存在学习版（不推荐）。 官网：Start11 中国官网： Start 11 Steam（褒贬不一）：Steam 上的 Start11 v2 枫の美化工具箱 文件资源管理器、开始菜单、全局窗口美化工具 目前拥有的功能： 主页面：自定义文件资源管理器窗口字体、局部颜色模式 Light、Dark (实验性局部Dark模式存在小的视觉bug) 背景设置：自定义文件资源管理器、开始菜单、系统设置的背景图片 颜色设置：自定义文件资源管理器配色(标题、组、页眉、详细信息、硬盘进度条)、圆角化硬盘进度条 图标设置：自定义桌面、文件资源管理器图标组图标 窗口设置：自定义文件资源管理器窗口背景效果半透明、Blur、Acrylic、Mica效果 win11圆角类型、开始菜单、系统设置Acrylic背景效果 控件样式：自定义全局窗口标题栏按钮样式、macOS样式按钮、文件资源管理器Tab标签页、工具栏、地址栏配色、自绘圆角滚动条 预设列表：保存、导入、分享你的配置文件 插件列表：安装插件增强和扩展工具箱的功能 Evaluations： 还算是简单易用，内存和 GPU 占用尚可接受。 可装插件和导入配置文件，有一定可玩性。 不兼容 TranslucentTB 我用起来文件资源管理器常崩溃、不显示背景图片、工具栏配色未更改，可能已经优化稳定了。 背景图片清晰度不高，在 dark 模式下背景图片容易干扰正常阅读文件信息 软件免费，不完全开源，需要注册登录账号。 发布地址：win美化工具箱 ★ 枫の主题社 Sapphire ==特别推荐！== 桌面图标、布局美化，更改交互体验。 可调整桌面图标布局，更改横纵网格数 放置格子（类手机上的文件夹），将桌面各类文件直接放进文件夹，分类同一管理 调整图标、格子大小（网格数整数倍），圆角，背景，透明度 更改文件名的字体 精简模式去除文件名，可每个图标单独设置 可设置交互动效 Dock 栏，类 Mac/手机下方的 dock，可竖置，改变长宽、背景色 开启文件夹高级交互后可以文件夹鼠标悬停预览内容，单击原地展开，不必开文件资源管理器窗口。 针对 steam 内应用的快捷方式优化 双击隐藏图标，每个可单独设置是否隐藏。 后台内存占用 100 mb 左右，尚可接受。几乎不消耗 GPU 可自定义图片、动图作为壁纸。初步兼容 WallpaperEngine（需在设置中设置当其他程序成为焦点时为始终运行）。 多屏支持 缺点： 我的电脑开启高级文件交互后，只要文件夹内文件数稍多，sapphire 会直接卡死。观望作者更新。 暂时还没有保存桌面布局的功能，好在即使卡退也会记录最新布局。 只保证兼容 Windows 11 更改桌面右键交互但目前还不能自定义 GitHub 项目地址：Sapphire-EnhancedDesktop: Windows桌面取代软件 光标美化 网上有很多分享光标美化文件的，根据个人喜好挑选。安装也不难。 分享两款，不影响视野同时具有个性化设计的： 原神纳西妲光标：纳西妲同款鼠标光标4.0版来咯_原神 蔚蓝档案千年光标，简约可爱，在用。 GitHub项目地址：BlueArchive-Cursors
数字信号处理基本概念 信号分类 连续信号：即模拟信号，时域连续信号。 时域离散信号：幅度取值连续，时间取值离散。 幅度离散信号：幅度取值离散，时间取值连续。 数字信号：幅度和时间都取离散值。 区别 时域离散信号和数字信号之间的差别，仅在于数字信号存在量化误差。 数字信号处理实现方法 数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。 软件实现 按原理和算法，编写程序在通用计算机实现。 优点：灵活 缺点：运算速度慢，难以达到实时处理效果。 适合算法研究和仿真。 硬件实现 按照具体的要求和算法，设计硬件结构图，用乘法器、加法器、延时器、控制器、存储器以及输人输出接口等基本部件实现。 优点：运算速度快，可实时处理 缺点：不灵活 硬件实现指的是选用合适的 DSP 芯片，配有适合芯片语言及任务要求的软件，实现某种信号处理功能的一种方法。 专用芯片 采用专用的 数字信号处理芯片（DSP 芯片） 是目前发展最快、应用最广的一种方法。因为 DSP 芯片比通用单片机有更为突出的优点，它结合了数字信号处理的特点，内部配有乘法器和累加器，结构上采用了流水线工作方式以及并行结构、多总线，且配有适合数字信号处理的指令，是一类可实现高速运算的微处理器。 对于更高速的实时系统，DSP 的速度也不满足要求时，应采用可编程超大规模器件（FPGA）或开发专用芯片来实现。 数字信号处理特点 相比于模拟信号处理，数字信号处理具有以下特点： 灵活性 高精度和高稳定性 便于大规模集成 可以实现模拟系统无法实现的诸多功能，如储存、复杂变换和运算。 信号维度 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。 如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。 时域离散信号与系统 时域离散信号 实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。 模拟信号 $x_a(t)$ ，离散时间点 $t_n$ 。 均匀采样（等间隔采样）时，采样间隔 $T$ ，$t_n=nT$ $$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT),- \infty<n<\infty $$ $x(n)$ 称为时域离散信号，$n$ 取整数，得到序列 $$ x(n)=\{\cdots ,x_a(-2T),x_a(-T),x_a(0),x_a(T),x_a(2T),\cdots \} $$ 时域离散信号也称序列。 序列表示方法 集合符号 数的集合用集合符号 $\{\cdot \}$ 表示，时域离散信号可表示为有序的数的集合。 集合中有下划线的元素表示 $n=0$ 时刻的采样值。 公式表示 Example: $$ x(n)=a^{|n|},0<a<1,-\infty<n<\infty $$ 图形表示 横坐标为 $n$ ，纵坐标为 $x$ 的值，竖线顶端加黑点。 常用典型序列 单位脉冲序列 $\delta(n)$ $$ \delta(n)= \begin{cases} 1 & n=0\\ 0 & n \ne 0\\ \end{cases} $$ 也称单位采样序列，不同于单位冲激信号 $\delta(t)$ 。 单位阶跃序列 $u(n)$ $$ u(n)= \begin{cases} 1 & n \ge 0\\ 0 & n < 0\\ \end{cases} $$ $$ \delta(n)=u(n)-u(n-1) $$ $$ u(n)=\sum^{\infty}_{k=0}\delta(n-k) $$ 矩形序列 $R_N(n)$ $$ R_N(n)= \begin{cases} 1 & 0 \le n \le N-1\\ 0 & Others \end{cases} $$ $N$ 称为矩形序列长度，矩形序列可用单位阶跃序列表示。 $$ R_N(n)=u(n)-u(n-N) $$ 实指数序列 $$ x(n)=a^n u(n),a 为实数 $$ $|a|<1$ 时称 $x(n)$ 为收敛序列 $|a|>1$ 时称 $x(n)$ 为发散序列 正弦序列 $$ x(n)=\sin (\omega n) $$ $\omega$ 称为正弦序列的数字域频率（数字频率），单位为弧度 $rad$ ，表示序列变化速率（相邻两个序列值之间相位变化的弧度数）。 模拟角频率 $\varOmega$，若正弦序列由模拟信号 $x_a(t)=\sin (\varOmega t)$ 采样得到 $$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=\sin (\varOmega nT)=\sin (\omega n) $$ 则得到数字频率与模拟角频率的关系 $$ \omega=\varOmega T $$ 采样频率 $F_s=\frac{1}{T}$ ，因此 $$ \omega=\frac{\varOmega}{F_s} $$ 数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。 复指数序列 $$ x(n)=e^{(\sigma+j \omega_0)n}=\cos(\omega_0 n)+j \sin(\omega_0 n) $$ 因为 $n$ 取整数，所以正弦序列和复指数序列都以 $2 \pi$ 为周期。 周期序列 如果对所有 $n$ 存在一个最小的正整数 $N$，使下面等式成立： $$ x(n)=x(n+N),-\infty<n<\infty $$ 则称序列 $x(n)$ 为周期性序列，周期为 $N$ 。 序列运算 Easy 加法和乘法 位移、翻转、尺度变换 离散时域系统 系统输入为 $x(n)$ ，输出为 $y(n)$ ，运算关系用 $T[\cdot]$ 表示。 $$ y(n)=T[x(n)] $$ 线性系统 系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。 可加性 $$ y_1(n)=T[x_1(n)],y_2(n)=T[x_2(n)] $$ $$ T[x_1(n)+x_2(n)]=y_1(n)+y_2(n) $$ 齐次性（比例性） $$ T[a \times x(n)]=a \times y(n) $$ 时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系 $T[\cdot]$ 在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输人信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统。 $$ y(n)=T[x(n)] $$ $$ y(n-n_0)=T[x(n-n_0)] $$ 线性时不变系统特点 完全响应=零输入响应+零状态响应 单位脉冲响应 初始状态为 0（无零输入响应） $$ h(n)=T[\delta(n)] $$ $$ x(n)=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)\delta(n-m) $$ $$ \begin{align} y(n) &=T[x(n)]\\ &=T[\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)\delta(n-m)]\\ &=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)T[\delta(n-m)]\\ &=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)h(n-m)\\ &=x(n)*h(n) \end{align} $$ 卷积相关知识见《信号与系统》 系统因果性 定义：如果系统 $n$ 时刻的输出只取决于 $n$ 时刻以及 $n$ 时刻以前的输入序列，而和 $n$ 时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。 ==充要条件==：系统单位脉冲响应满足下式 $$ h(n)=0 \quad n<0 $$ 系统稳定性 定义：如果对有界输入，系统产生的输出也是有界的，则称该系统具有稳定性，或称该系统为稳定系统。 ==充要条件==：系统的单位脉冲响应绝对可和。 $$ \sum^{\infty}_{m=-\infty}|h(n)|<\infty $$ 线性常系数差分方程
流体静力学基础 气体性质 压缩性 体积弹性模数 定义：产生单位相对体积变化所需压强增高 $$ E=-\frac{dp}{dV/V} $$ 对于一定质量气体，体积与密度成反比例关系，即 $$ \frac{d \rho}{\rho}=-\frac{dV}{V} $$ 回代得 $$ E=\rho \frac{dp}{d \rho} $$ 常温下水的体积弹性模数：$2.1 \times 10^9N/m^2$ 通常情况下水可视为不可压缩流体。 粘性 牛顿粘性定律 流体运动所产生的摩擦阻力与接触面积成正比 $$ \tau =\mu \frac{du}{d \vec{n}} $$ $\tau$ ：摩阻应力，单位面积上的摩擦阻力 $\vec{n}$ ：接触面法线方向 $\mu$ ：比例常数，称为流体的粘性系数，单位为 $N \cdot s/m^2$ $\frac{du}{d \vec{n}}$ ：速度梯度 不同流体介质粘性系数值各不相同，并且粘性系数随温度变化，与压强基本无关。 气体粘性系数随温度升高而增大。 萨特兰公式 空气粘性系数随温度变化关系，近似公式之一萨特兰公式 $$ \frac{\mu}{\mu_0}=(\frac{T}{288.15})^{1.5}\frac{288.15+C}{T+C} $$ $\mu_0$ ：温度为 $288.15K$ 时空气粘性系数 $C$ ：常数，值为 $110.4K$ 运动粘性系数 $$ \nu=\frac{\mu}{\rho} $$ $\nu$ ：运动粘性系数，单位为 $m^2/s$ $\mu$ ：粘性系数 $\rho$ ：密度 传热性 定义：当气体中沿某一方向存在温度梯度时，热量就会由温度高的地方传向温度低的地方，这种性质称为气体的传热性。 单位时间内所传递热量与传热面积成正比，与沿热流方向的温度梯度成正比，即 $$ q=-\lambda \frac{\partial T}{\partial \vec{n}} $$ $q$ ：单位时间通过单位面积热量，单位 $kJ/(m^2 \cdot s)$ $\frac{\partial T}{\partial \vec{n}}$ ：温度梯度，单位为 $K/m$ $\lambda$ ：导热系数，单位为 $kJ/(m \cdot K \cdot s)$ 负号表示热量传递方向永远与温度梯度方向相反。 流体分类 连续介质假设 理想流体 不考虑粘性，在这种模型中，流体微团不承受粘性力作用。常用于气体。 忽略粘性的气体称为理想气体。 压强各向同性 理想流体内一点处的压强与受压面的方位无关，它仅是空间坐标的连续函数。 不可压流体 不考虑气体压缩性或弹性，可认为体积弹性模数无穷大，或流体密度为常数。常用于液体。 求解不可压流体的流动规律，只需要服从力学定律，不需要考虑热力学关系。 对流速较低的气体，也可按不可压流体处理流动问题。 绝热流体 不考虑流体传热性的模型，即把流体热导系数看作零。低速流动的空气一般热导系数值很小，可视为绝热。 不考虑气体微团之间热传导作用的气体模型称之为绝热气体。 完全气体 任何状态下，气体的压强、密度和温度之间都存在一定的函数关系 $$ p=p(\rho,T) $$ 完全气体的状态方程 $$ p=\frac{\overline{R}}{m}\rho T $$ $\overline{R}$ ：普适气体常数，$8315m^2/(s^2 \cdot K)$ $m$ ：某种气体相对分子质量 $R=\frac{\overline{R}}{m}$ 时， $$ p=\rho R T $$ $R$ 为气体常数，空气约为 $287.035m^2/(s^2 \cdot K)$ 流体微团受力 压力 切应力（摩擦力） 彻体力 重力 电磁力 离心力 静平衡方程 在==静止流体==中取一点 $P$，压强为 $p$ 构建笛卡尔坐标系，流体内各点处压强为 $$ p(x,y,z) $$ 以 $P$ 为中心构建各边平行于坐标轴的长方体，边长为 $dx,dy,dz$ 观察 $x$ 轴方向，两面受压力大小分别为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)+(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ 流体微团 $x$ 轴方向受彻体力为 $$ f_x \rho dx dy dz $$ $f_x$ 为单位质量上所受彻体力在 $x$ 轴方向分力。 因为是静止流体，流体微团受力平衡。 $x$ 轴方向力平衡方程为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy-[p(x_0,y_0,z_0)+(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy+f_x \rho dx dy dz=0 $$ 整理得 $$ \frac{\partial p}{\partial x}=\rho f_x $$ $$ \frac{\partial p}{\partial y}=\rho f_y $$ $$ \frac{\partial p}{\partial z}=\rho f_z $$ $\because$ $p$ 全微分方程为 $$ dp=\frac{\partial p}{\partial x}dx+\frac{\partial p}{\partial y}dy+\frac{\partial p}{\partial z}dz $$ $\therefore$ $$ dp=\rho(f_x dx+f_y dy+f_z dz) $$ 设==彻体力位函数== $$ \varOmega=\varOmega(x,y,z) $$ 全微分为 $$ d \varOmega=\frac{\partial \varOmega}{\partial x}dx+\frac{\partial \varOmega}{\partial y}dy+\frac{\partial \varOmega}{\partial z}dz $$ 其中 $\frac{\partial \varOmega}{\partial x}=f_x$，$\frac{\partial \varOmega}{\partial y}=f_y$，$\frac{\partial \varOmega}{\partial z}=-f_z$ 由上述关系得到 $$ dp=-\rho d \varOmega $$ 两边对 $x,y,z$ 三重积分得 $$ p=-\rho \varOmega+C(常数) $$ $$ C=p+\rho \varOmega $$ 当已知某一点 A 处的压强 $p_a$ ，两点处彻体力位函数差 $\varOmega_a-\varOmega$ ，该静止流体密度 $\rho$ （处处相等）时，已知任一点彻体力位函数 $\varOmega$ 可求得该点压强 $$ p=p_a+\rho (\varOmega_a-\varOmega) $$ 推论： 流体内等压面必是彻体力的等位面。 大气 大气分层 底层大气 高度：海平面——85 km 特点：组分均匀，氮气占总体积 78.1%，氧气占总体积 21% 对流层 高度 赤道：16~18 km 中纬度地区：10~12 km 两极：7~10 km 质量：占整个大气质量 75% 特点：有上下方向流动，有风暴、雷雨现象。随高度增加，空气温度快速下降。 对流顶层 过渡层，厚度数百米到一二千米。 平流层 高度：对流层~32 km 质量：约占大气层质量四分之一 特点：无气象，空气水平流动，温度保持常数（平均约 216.65 K） 中间大气层 高度：32~85 km 质量：1/3000 温度：先上升后下降，85 km 处可降到 106 K 以下。 高层大气 高度：85 km 以上 特点：组分不均匀，直接吸收太阳辐射 高温层 高度：85~500 km 温度：随高度升高温度上升，500 km 处白天可达 1370 K。 特点：直接受太阳短波辐射 外层大气 高度：500+ km，大气逐渐与星际空间融合 质量：$1/10^{11}$ 特点：大气过于稀薄，不适合用温度定义。空气分子可逃逸入太空。 上层大气与电离层 上层大气受太阳短波辐射离解为电子和离子，形成电离层。 100 km 以上高空中，空气是良导体。 150 km 以上，空气过于稀薄，无法传递声音。 D 层 高度：60~80 km E 层 高度：100~120 km $F_1$ 层 高度：180~220 km $F_2$ 层 高度：300~350 km 国际标准大气 航空工程中统一的大气压强、密度、温度等参数标准，按中纬度地区全年平均条件统计确定，称为国际标准大气。 流体运动学与动力学基础 流场 流场：充满运动流体的空间 流动参数：用以表示流体运动特征的物理量，入速度、密度、压强等。 流体力学方法：拉格朗日法，欧拉法 拉格朗日法 着眼于质点（运动） 研究流场各个质点的运动参数随时间变化规律和运动轨迹。 综合所有流体质点运动参数变化从而得到整个流场运动规律。 欧拉法 着眼于空间点（不动） 研究流体质点通过空间固定点时，运动参数随时间变化规律。 综合流场中所有空间点处运动参数变化情况，可得到整个流场运动规律。 欧拉法中，流场运动参数一般是空间点坐标和时间的函数。 以速度为例 $$ v=v(x,y,z,t) $$ 四个变量独立。 一般三维空间中，建立笛卡尔坐标系，将标量参数分解到 $x,y,z$ 轴方向分别分析。 $$ v_x=v_x(x,y,z,t) $$ 求导得加速度分量 $$ a_x=\frac{d v_x}{dt}=\frac{\partial v_x}{\partial t}+\frac{\partial v_x}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial v_x}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial v_x}{\partial z}\frac{dz}{dt} $$ $\because$ $\frac{dx}{dt}=v_x,\frac{dy}{dt}=v_y,\frac{dz}{dt}=v_z$ $\therefore$ $$ a_x=\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x \frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y \frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} $$ 由此可知，加速度是时间和位置的函数 $$ a_x=a_x(t,x,y,z) $$ 当地加速度 等式右边第一项表示空间固定点处的流体质点速度随时间变化率，称当地加速度。（速度与时间关系） 当地加速度是由流场中速度随时间的变化性引起的。 迁移加速度 后三项反映在同一瞬时，流体质点沿速度矢量方向从空间一点运动到相邻另一点速度变化率，称为迁移加速度。（速度与位移关系） 迁移加速度是由流畅的不均匀性引起的。 非定常流场 流场中至少存在一空间点的物理量随时间变化。 定常流场 流场中任意空间点处的物理量不随时间变化。 迹线 流场中标定的运动流体质点在一段时间内所经过所有空间点的集合，称为该流体质点迹线。 流线 在流场中每一空间点上都与速度矢量相切的曲线称为流线。 流线是同一时刻不同流体质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的速度方向。 特点： 在定常流场中各流线不随时间变化。 非定常流场中存在随时间变化的流线。 定常流场中，经过某一空间点的流线，与所有经过该空间点的流体质点的迹线重合。 一般流线不相交（同一时刻同一空间点不存在两个速度方向） 在速度为 0 的空间点上，流线可以相交。通常称速度为 0 的空间点为驻点。 在速度无穷大的空间点上，流线可以相交，通常称速度无穷大的空间点为奇点。 流线相切，切点后两线重合。 流场中每一点都有流线通过，所有流线集合称为流线谱或简称流谱。 流线微分方程 设流线上某点 $M(x,y,z)$ 处速度为 $\vec{v}$ ，$M$ 点流线微段长 $ds$ ，在笛卡尔坐标系分解为 $v_x,v_y,v_z$ 和 $dx,dy,dz$ 。 流线任一点速度方向与流线切线方向相同，则 $$ \cos(\vec{v},\vec{i})=\frac{v_x}{v}=\frac{dx}{ds} $$ $\vec{i}$ 为 $x$ 轴方向单位法向量，$y,z$ 轴同理。 $$ \frac{dx}{v_x}=\frac{dy}{v_y}=\frac{dz}{v_z} $$ 上式即为流线的微分方程式。 已知速度分布时，可求得流场中通过任一点的流线形状。 流管 在流场中一条不为流线的封闭曲线 C，过 C 上每一点作流线，由这些流线集合构成的管状曲面称为流管。 流体微团运动分析 运动形式 刚体运动 平移运动 绕轴转动 流体运动 平移运动 绕轴转动 变形运动 直线变形 剪切变形 二维分析 在流场中任取一矩形流体微团 ABCD，其两边的边长分别为 $\delta_x,\delta_y$ ，且均为小量。 设 $v_x,v_y$ 为 A 点处流体微团分速度，且分速度均为空间点坐标的连续函数，则 B, D 点速度可用泰勒级数在 A 点的展开表述。 $\because$ 流体微团边长足够小 $\therefore$ 二阶以上小量可忽略 $$ v_{Bx}=v_x+\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x $$ $$ v_{By}=v_y+\frac{\partial v_y}{x}\delta_x $$ 流体微团运动时，除了整体运动，B 相对于 A 点也有运动。 $x$ 轴方向相对运动速度 $v_{Bx}-v_x=\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ ，$y$ 轴方向同理 $\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ 。 D 相对于 A 运动速度为 $v_{Dx}-v_x=\frac{\partial v_x}{\partial y}\delta_y,v_{Dy}-v_y=\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y$ 。 线变形运动 相对速度 $\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ 和 $\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y$ 是矩形 ABCD 边线的直线形变速度，时间 $dt$ 内 $$ AB'=AB+\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x dt $$ $$ AD'=AD+\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y dt $$ 矩形面积相对变化率为 $$ \frac{d(\delta S)}{\delta S \cdot dt}=\frac{AB' \cdot CD'-AB \cdot CD}{AB \cdot CD \cdot dt} $$ 略去高阶小量后， $$ \frac{d(\delta S)}{\delta S \cdot dt}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y} $$ 拓展到三维空间后，同理可得 $$ \frac{d(\delta V)}{\delta V \cdot dt}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z} $$ 角变形运动 相对速度 $\frac{\partial v_y}{\partial x}\delta x,\frac{\partial v_x}{\partial y}\delta y$ 表示 AB 边和 AD 边绕 A 点的转动。 规定逆时针转动为正， AB 边转动角速度 $$ \frac{d\alpha_1}{dt}=\frac{\partial v_y}{\partial x}\delta_x / \delta_x=\frac{\partial v_y}{\partial x} $$ 同理 AD 边转动角速度为 $$ \frac{d \alpha_2}{dt}=-\frac{\partial v_x}{\partial y} $$ 微团绕 $z$ 轴转动角速度 定义：微团在 $xOy$ 平面投影中两条互相垂直线绕 $z$ 轴转动角速度的平均值。（角速度和之半） $$ \epsilon_z=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}) $$ 角变形率 定义：微团在 $xOy$ 平面投影中两条互相垂直线在单位时间内的夹角变化量之半。（角速度差之半） $$ \gamma_z=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_y}{\partial x}+\frac{\partial v_x}{\partial y}) $$ 拓展到三维空间后，流体微团的三轴转动角速度和角变形率同理可求。 略。 散度 定义：各速度分量在其分量方向上的方向导数之和为速度矢量的三度。 $$ div \vec{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z} $$ 物理意义：标定流体微团在运动过程中相对体积变化率。 ==假设前提==：流体的密度没有发生变化（流体的运动视为不可压流）。 由一点发出的体积流量定义为 $$ \lim_{\delta V \to 0}\frac{体积流出量-体积流入量}{\delta V \cdot dt}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z} $$ 等于单位时间内空间某一点处，单位体积控制体的体积净流出量，等于流体微团在运动中体积相对变化率。 旋度 定义：旋转角速度的两倍。 $$ \vec{\omega}=curl \vec{v}=(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x})\vec{j}+(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y})\vec{k} $$ 速度位 在流体力学中, 可根据流体微团是否有旋转运动, 而将流体运动分为 有旋运动 无旋运动 当把流动看作无旋运动时，$\omega=0$ ， $$ \begin{cases} \frac{\partial v_z}{\partial y}=\frac{\partial v_y}{\partial z} \\ \frac{\partial v_x}{\partial z}=\frac{\partial v_z}{\partial x} \\ \frac{\partial v_y}{\partial x}=\frac{\partial v_x}{\partial y} \\ \end{cases} $$ 上述方程组是 $v_xdx+v_ydy+v_zdz$ 构成某函数 $\phi(x,y,z)$ 全微分的充要条件。即 $$ d \phi=v_xdx+v_ydy+v_zdz=\frac{\partial \phi}{\partial x}dx+\frac{\partial \phi}{\partial y}dy+\frac{\partial \phi}{\partial z}dz $$ $\phi$ 称为速度位或速度位函数。 $$ \begin{cases} v_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}\\ v_y=\frac{\partial \phi}{\partial y}\\ v_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}\\ \end{cases} $$ 使用柱极坐标时， $$ \phi=\phi(r,\theta,z) $$ $$ \begin{cases} v_r=\frac{\partial \phi}{\partial r}\\ v_\theta=\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\\ v_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}\\ \end{cases} $$ 基本物理量 应力 ：单位面积上的力称为应力 标量 压强 密度 温度 粘性系数 矢量 流动速度 剪应力 理想气体状态方程 $$ pV=nRT $$ $R=8.314J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ 为理想摩尔气体常数。 $$ p=\frac{n \cdot M}{V}\frac{R}{M} T $$ $$ n(物质的量) \cdot M(摩尔质量)=m(质量) $$ $$ p=\rho R' T $$ $$ R'=\frac{R}{M} $$ $R'$ 为==比气体常数==。 理想空气 $R'=287J/(kg \cdot K)$ 空气动力及力矩 空气动力 $R$：Resultant 空气对物体的力 压力 $p$ ：Pressure 剪应力 $\tau$ ：Shear stress 压力与剪应力的合力即为空气对物体作用力，空气动力。 风轴系 升力 $L$ ：Lift，竖直分力 阻力 $D$ ：Drag，水平分力 自由来流（自由流） $$ V_{\infty} $$ 自由流是指飞机前未经扰动的来流，也即没有飞机等干扰时，空气的自然流动现象。 升力与阻力的方向由自由来流方向决定。 迎角（攻角） $$ \alpha $$ 迎角（英语：Angle of attack，缩写为AOA，常用希腊字母α表示）为空气动力学名词，为机翼之翼弦与自由流（或是相对风流的方向）之夹角；如为飞机迎角，定义则为机轴对相对风流之夹角。当机翼向上为正迎角，向下则为负迎角。 体轴系 法向力 $N$：Normal，垂直于机翼方向 轴向力 $A$：Axial，平行于机翼方向 力矩 $M$：Moment 让飞机抬头的力矩为正，让飞机低头力矩为负。 动压 $q$ 自由来流 $V_{\infty},\rho_{\infty}$ 产生的动压 $$ q_{\infty}=\frac{1}{2}\rho_{\infty}V_{\infty}^2 $$ 单位为 $Pa$ ，同压强 特征几何尺寸 $S$ 对三维物体来说是面积，对二位物体来说是周长。 无量纲参数 三维物体常用大写 $C$ ，二维物体常用小写 $c$ 。 升力系数 $$ C_L=\frac{L}{q_{\infty}S} $$ 阻力系数 $$ C_D=\frac{D}{q_{\infty}S} $$ 法向力系数 $$ C_N=\frac{N}{q_{\infty}S} $$ 轴向力系数 $$ C_A=\frac{A}{q_{\infty}S} $$ 空气动力系数 $$ C_R=\frac{R}{q_{\infty}S} $$ 力矩系数 $$ C_M=\frac{\vec{M}}{\vec{r} \times \vec{q_{\infty}}S} $$ 压力系数 $p$：某点静压 $p_{\infty}$：自由来流静压 $$ C_p=\frac{p-p_{\infty}}{q_{\infty}} $$ 摩擦力系数 $\tau$：某点剪应力，即剪应力对面积导数。量纲同压强。 $$ C_f=\frac{\tau}{q_{\infty}} $$ 两个中心 压力中心（压心） 压力中心（Pressure Center）：流体中的平面或曲面所受流体压力的合力的作用线同该平面或曲面的交点。空气动力 $R$ 对此点力矩为 $\vec{0}$。 空气动力中心（气动中心，焦点） 空气动力中心（英语：aerodynamic center，简称 AC）在空气动力学 中是指翼型 上的一个定点，绕该点的俯仰力矩不随迎角 的改变而变化，即 $$ \frac{d C_M}{d \alpha}=0 $$ 气动中心与压力中心的区别 压力中心是力系合成到一个特殊点时，使得这个点的合力矩为0的点，压力中心在气动中心的后面；而气动中心是使得合力矩不变的点。 压力中心的位置随着迎角的改变而改变，当迎角增大，升力增大，压力中心前移，这同时使得压力中心与气动中心的距离缩短，增大的升力与缩短力臂乘积刚好是不变的力矩，这也正是气动中心的定义所要求的。