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items: 空气动力学基础（持续更新）
items: 热力学与统计物理

空气动力学基础（持续更新）
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date: 2024-09-02T22:13:00+08:00
description: 流体静力学基础 气体性质 压缩性 体积弹性模数 定义：产生单位相对体积变化所需压强增高 $$ E=-\frac{dp}{dV/V} $$ 对于一定质量气体，体积与密度成反比例关系，即 $$ \frac{d \rho}{\rho}=-\frac{dV}{V} $$ 回代得 $$ E=\rho \frac{dp}{d \rho} $$ 常温下水的体积弹性模数：$2.1 \times 10^9N/m^2$ 通常情况下水可视为不可压缩流体。 粘性 牛顿粘性定律 流体运动所产生的摩擦阻力与接触面积成正比 $$ \tau =\mu \frac{du}{d \vec{n}} $$ $\tau$ ：摩阻应力，单位面积上的摩擦阻力 $\vec{n}$ ：接触面法线方向 $\mu$ ：比例常数，称为流体的粘性系数，单位为 $N \cdot s/m^2$ $\frac{du}{d \vec{n}}$ ：速度梯度 不同流体介质粘性系数值各不相同，并且粘性系数随温度变化，与压强基本无关。 气体粘性系数随温度升高而增大。 萨特兰公式 空气粘性系数随温度变化关系，近似公式之一萨特兰公式 $$ \frac{\mu}{\mu_0}=(\frac{T}{288.15})^{1.5}\frac{288.15+C}{T+C} $$ $\mu_0$ ：温度为 $288.15K$ 时空气粘性系数 $C$ ：常数，值为 $110.4K$ 运动粘性系数 $$ \nu=\frac{\mu}{\rho} $$ $\nu$ ：运动粘性系数，单位为 $m^2/s$ $\mu$ ：粘性系数 $\rho$ ：密度 传热性 定义：当气体中沿某一方向存在温度梯度时，热量就会由温度高的地方传向温度低的地方，这种性质称为气体的传热性。 单位时间内所传递热量与传热面积成正比，与沿热流方向的温度梯度成正比，即 $$ q=-\lambda \frac{\partial T}{\partial \vec{n}} $$ $q$ ：单位时间通过单位面积热量，单位 $kJ/(m^2 \cdot s)$ $\frac{\partial T}{\partial \vec{n}}$ ：温度梯度，单位为 $K/m$ $\lambda$ ：导热系数，单位为 $kJ/(m \cdot K \cdot s)$ 负号表示热量传递方向永远与温度梯度方向相反。 流体分类 连续介质假设 理想流体 不考虑粘性，在这种模型中，流体微团不承受粘性力作用。常用于气体。 忽略粘性的气体称为理想气体。 压强各向同性 理想流体内一点处的压强与受压面的方位无关，它仅是空间坐标的连续函数。 不可压流体 不考虑气体压缩性或弹性，可认为体积弹性模数无穷大，或流体密度为常数。常用于液体。 求解不可压流体的流动规律，只需要服从力学定律，不需要考虑热力学关系。 对流速较低的气体，也可按不可压流体处理流动问题。 绝热流体 不考虑流体传热性的模型，即把流体热导系数看作零。低速流动的空气一般热导系数值很小，可视为绝热。 不考虑气体微团之间热传导作用的气体模型称之为绝热气体。 完全气体 任何状态下，气体的压强、密度和温度之间都存在一定的函数关系 $$ p=p(\rho,T) $$ 完全气体的状态方程 $$ p=\frac{\overline{R}}{m}\rho T $$ $\overline{R}$ ：普适气体常数，$8315m^2/(s^2 \cdot K)$ $m$ ：某种气体相对分子质量 $R=\frac{\overline{R}}{m}$ 时， $$ p=\rho R T $$ $R$ 为气体常数，空气约为 $287.035m^2/(s^2 \cdot K)$ 流体微团受力 压力 切应力（摩擦力） 彻体力 重力 电磁力 离心力 静平衡方程 在==静止流体==中取一点 $P$，压强为 $p$ 构建笛卡尔坐标系，流体内各点处压强为 $$ p(x,y,z) $$ 以 $P$ 为中心构建各边平行于坐标轴的长方体，边长为 $dx,dy,dz$ 观察 $x$ 轴方向，两面受压力大小分别为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)+(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ 流体微团 $x$ 轴方向受彻体力为 $$ f_x \rho dx dy dz $$ $f_x$ 为单位质量上所受彻体力在 $x$ 轴方向分力。 因为是静止流体，流体微团受力平衡。 $x$ 轴方向力平衡方程为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\par…

热力学与统计物理
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date: 2024-06-06T00:00:00+08:00
description: 物理量 内能 U $$ \Delta U=Q+W $$ Q为系统吸热，W为系统对外做功 熵 S 熵是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数，也就是当总体的熵增加，其做功能力也下降，熵的量度正是能量退化的指标。 ==可逆过程==中 $$ \Delta S=\frac {Q}{T} $$ Q：在一个可逆过程中，系统在恒温情况下吸热 焓 H $$ H=U+pV $$ 自由能 F $$ F=U-TS $$ 系统内能-不能做工的能量=能做工的能量（自由能） 吉布斯函数（自由焓）G $$ G=F+pV=U-TS+pV=H-TS $$ 化学势 $\mu$ $$ \mu=(\frac{\partial G}{\partial n})_{T,p}=G_m $$ 其中： n：物质的量（$mol$） $G_m$：摩尔吉布斯函数 方程 状态函数全微分 (可逆过程) 内能全微分（热力学基本方程） $$ dU=dQ+dW=TdS-pdV $$ 即$U=U(S,V)$ $$ (\frac{\partial U}{\partial S})_V=T,(\frac{\partial U}{\partial V})_S=-p $$ $\because$ U二阶偏导相等 $\therefore$ 得到第一麦氏关系： $$ (\frac{\partial T}{\partial V})_S=-(\frac{\partial p}{\partial S})_V $$ 焓全微分 $$ dH=dU+d(pV)=TdS-pdV+pdV+Vdp=TdS+Vdp $$ 自由能全微分 $$ dF=-SdT-pdV $$ 吉布斯函数全微分 $$ dG=-SdT+Vdp $$ 熵全微分 $$ dS=\frac{dU+pdV}{T} $$ 麦氏关系 麦氏关系（Maxwell Relations）是在热力学中描述状态变量之间关系的重要方程。 以下是四个麦氏关系： 第一麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_S = - \left ( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_V $$ 第二麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_S = \left ( \frac{\partial V}{\partial S} \right)_P $$ 第三麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = \left ( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V $$ 第四麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial P} \right)_T = -\left ( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P $$ 推论： $$ C_p-C_V=T(\frac{\partial p}{\partial T})_V(\frac{\partial V}{\partial T})_p $$ 对于理想气体$pV=nRT$ 带入得 $$ C_p-C_V=nR,为常数 $$ 物态方程 定义：温度与状态参量之间的函数关系方程。 $$ f(p,V,T)=0 $$ 理想气体物态方程 $$ pV=nRT=NkT $$ n：物质的量 R：气体常数 N：系统总粒子数 k：玻尔兹曼常数范德瓦尔兹方程 $$ (p+\frac{an^2}{V^2})(V-nb)=nRT $$ a、b为常数常见系数 体胀系数$\alpha$ $$ \alpha=\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial T})_p=\frac{1}{T},理想气体 $$ 压强系数$\beta$ $$ \beta=\frac{1}{V}(\frac{\partial p}{\partial T})_V=\frac{1}{T},理想气体 $$ 等温压缩系数$\kappa_T$ $$ \kappa_T=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial P})_T=\frac{1}{p},理想气体 $$ 热容C $$ C=\lim_{\Delta T \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta T} $$ 定容热容$C_V$ $$ C_V=(\frac{\partial U}{\partial T})_V=T(\frac{\partial S}{\partial T})_V $$ 定压热容$C_p$ $$ C_p=(\frac{\partial H}{…