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items: python基础数据结构（2023.11.17更新）

概率论与数理统计
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date: 2024-09-10T01:14:00+08:00
description: 前言 第一版前言 [[2024-09-14]] 今天补考终于结束了，听说正考直接放原卷，这几天刷了三套网上得来的“西电原卷”（21 年和两套 23 年）。上午刷的 21 年题，下午 $\frac{1}{4}$ 是一个字不改的原题，我都看笑了。 戴浩当年说尽力给钱班找最好的老师，现在看来数统院没人了？讲课不行可以说是重心不在教学、天赋不在教书；出套卷子直接搬旧题，还是近几年的，题也没审错漏百出，给我气笑了。 自己出的卷子毫无含金量，自己也不做做看。这是态度问题。 你电期末考试放水挺好的，但不要总是拿老本糊弄人。对学生大谈创新，对自己能混就行。这不是做学术的态度，更不是教书应有的态度。 概率论就此告一段落，这两天反复看笔记刷题订正不少错误，也明晰了这门课的知识结构。虽然内容仍然偏少，但作为期末复习的材料大抵足够，这版就作为终版吧（大概）。 中秋继续整理电动力学和数字信号处理。 第二版前言 Nothing is final!!! ——钱学森 补充了分布函数左右连续问题，看来这门课离 final 还有很远…… 事件运算转逻辑运算 $A \cup B=A+B$ $A \cap B=A \cdot B$ $A-B=A \bar{B}$ $A$ 事件发生 $B$ 事件不发生，由韦恩图易证。 可以将 $-B$ 理解为 $\cdot (-B)$ ，$-B$ 即为 $\bar{B}$ 若 $A \subset B$ ，$A \cup B=B,A \cap B=A$ 事件运算转逻辑运算后，大部分法则共通。 运用数电中学到的逻辑函数运算与化简，可将复杂事件运算化简。 Tips：卡诺图 四大事件概率公式 $$ \begin{cases} P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A \bar{B})\\ P(AB)=P(B) \cdot P(A|B)=P(A) \cdot P(B|A)\\ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\\ \end{cases} $$ 推论 $P(A+B+C)$ ，将 $A+B$ 看成一个事件，运用上面的加法公式，两次拆分得到： $$ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) $$ 更多和事件概率可依此递推得到。 对立事件：$A$ 不发生的概率，韦恩图一目了然。 $$ P(\bar{A})=P(1 \cdot \bar{A})=P(1-A)=P(1)-P(1 \cdot A)=1-P(A) $$ 非负性与规范性 非负性：对于任意事件 $A$ ，$0 \le P(A) \le 1$ 。 规范性：对于总事件 $\Omega$ ，$P(\Omega)=1$ 。 相互独立 $$ \begin{cases} P(AB)=P(A) \cdot P(B)\\ P(A|B)=P(A) \end{cases} $$ 独立必相互独立。 古典概型 各基本事件发生概率相等。 Eg. 抛硬币，掷骰子…… $$ P(A)=\frac{A包含基本事件数}{\Omega 中基本事件数} $$ 古典条件概率公式 $$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{同时在A,B中的基本事件数}{A包含基本事件数} $$ 伯努利概型（二项分布） $n$ 次独立实验，每次实验只有 $A,\bar{A}$ 两种结果。 $X \sim B(n,p)$ $$ P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} $$ 其中，$p=P(A),1-p=P(\bar{A})$ 几何概型 事件 所占线/面/体积 部分与整个 线/面/体 的 长度/面积/体积 比值。 当事件所占空间维度低于总事件空间 $\Omega$ 维度时，该事件概率恒为 0 。 ==Warning==：事件概率为 0 不代表一定不发生。 Eg：随机选中圆内某点，选中任意点概率为 0，但都可能发生。 均匀分布 $x \sim U(a,b)$ 近似为几何分布中的线性分布，各点处概率密度： $$ f(x)= \begin{cases} 0,x \le a\\ \frac{1}{b-a},a < x \le b\\ 0,x>b\\ \end{cases} $$ 分布函数： $$ F(x)= \begin{cases} 0,x \le a\\ \frac{x-a}{b-a},a<x \le b\\ 1,x>b\\ \end{cases} $$ 指数分布 $x \sim E(\lambda)$ 概率密度 $$ f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x \le 0\\ \end{cases} $$ 分布函数 $$ F(x)= \…

Windows美化历程
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date: 2024-09-07T21:12:00+08:00
description: 前言 俗话说的好，美化的尽头是默认。 虽然默认的 Windows 已经能高效地胜任各项工作，但它确实 ugly 啊。 在拥有一台性能过剩 PC 的情况下，适度追求美化和简化，满足本私斋的高端审美是极有必要的（） 下面来说说我在用/用过的美化软件/方案。 当前桌面方案 TranslucentTB：任务栏透明/亚克力效果 Sapphire：桌面图标交互优化 Wallpaper Engine：为减少 GPU 消耗和内存占用，只选了 Blue Archive 中 Noa 的记忆大厅作为壁纸，几秒的 4 K 视频，整个 Wallpaper 内存占用约 100 Mb。 Rainmeter：只用了一个音频条作为美化，因为 Noa 已经够美了😋 原来用过查看硬件信息的组件，发现除了增加焦虑外没什么用，遂放弃。 QQ 美化、网易云音乐美化、光标美化、Obsidian 主题、插件安排上。再加上 Edge 浏览器的 iTab 标签页和各类实用插件，目前的工作流完全舒适。 贴几张图 在以上正常工作流下，内存占大头的是浏览器，GPU 消耗主要来自 wallpaper，从登录到完全自启动耗时 10s 内，均在可接受负载范围内。 配置： 12400 F 7700 XT 32G DDR4 2K 180Hz HDR显示器 Windows 11 专业版 23H2 QQ 美化 ==特别推荐！== QQ 是大部分中国人不得不用又恨之入骨的东西——广告、弹窗、不想看的娱乐页面、花里胡哨功能性差的界面。 Windows 端自从推出 QQ 9，上述情况改善了不少，然而恶心人的东西最近逐渐加回来了，只能说本性难移。 为了不被迫在这个常用软件上天天吃屎，伟大的具有开源精神和折腾精神的中文互联网人纷纷投入 QQ 改造计划，而今天我要介绍的就是其中一个伟大项目——LiteLoaderQQNT。 好了说正事，liteloader 是 QQNT 的插件平台，安装后可以下载众多插件。 GitHub 项目地址：LiteLoaderQQNT: QQNT 插件加载器：轻量 · 简洁 · 开源 · 福瑞 部分推荐插件如下： PluginInstaller：LiteLoaderQQNT 插件安装器，可检查更新和一键安装/重启。先安装这个再安装其他插件省事很多。 LL-plugin-list-viewer: LiteLoaderQQNT Plugin 插件列表查看·安装·更新。收录了大部分插件，可直达 GitHub 项目地址。安装功能存在问题，部分插件需要手动安装和更新，否则会报错无法启动 QQ，建议作为插件/主题查看器。 轻量工具箱 —— 轻量 · 优雅 · 高效 · 福瑞：聚合了大量功能的工具箱，免于四处寻找插件。部分可选功能如下： 美化聊天界面实现类 tg 效果（显示头像，加时间戳，消息靠左等） 移除称号、VIP 、推荐标签等乱七八糟的东西。 右键快捷搜索文字/图片，消息转图片发送 选项高亮，特殊消息高亮 小程序分享转 URL 卡片，记录离开时位置，快捷+1（复读机） 消息预览：根据消息中第一个链接生成一张类 tg 的预览卡片 本地表情 消息后缀 撤回消息缓存并高亮 设置背景，调整亮度、透明度，可加磨砂等效果 精简侧边栏，所有功能可开关 输入框、消息框功能开关 …… 二维码解析：对 QQNT 聊天中的图片进行二维码解析 使用自定义浏览器打开链接并跳过拦截页 将 DeepL 翻译接入你的 QQNT Markdown：为 QQ 添加 Markdown 渲染支持。发出的消息只有安装了该插件的 QQNT 能渲染 markdown，所以大部分情况下没用。 Kill-Update：关闭 QQ自动更新弹窗，有些插件不会第一时间支持最新版 QQ，所以禁止更新是有用的。 window-on-top：让窗口有置顶功能 还有一些主题我没有介绍，因为去除垃圾之后部分美化的 QQNT 已经很好看了。 另外 ChatGPT 等 AI 接入插件也有，懒得折腾 API（没钱）。 网易云音乐美化 ==特别推荐！== 众所周知，国内几大音乐平台巨头都在走复杂化、流量化路线，今天加一个社区，明天加一个短视频，长期 VIP 跳脸。 作为听音乐的软件，有几项基本功能就够了。国内外都有很多做得好的音乐播放器，但“播放器”和“音乐平台”之间还是有很多差距的。比如便捷搜索歌曲，查看评论，一起听等。建立歌单、关注歌手、充值购买等沉没成本也迫使用户继续吃屎。 我一直用的网易云音乐有一群伟大的互联网人做了插件，美化后确实美观好用。 首先是插件平台 betterncm 官网：MicroBlock | BetterNCM GitHub 项目地址：GitHub - MicroCBer/BetterNCM: NCM 软件插件管理器 社区：关于 Bett…

数字信号处理（持续更新）
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date: 2024-09-04T23:44:00+08:00
description: 数字信号处理基本概念 信号分类 连续信号：即模拟信号，时域连续信号。 时域离散信号：幅度取值连续，时间取值离散。 幅度离散信号：幅度取值离散，时间取值连续。 数字信号：幅度和时间都取离散值。 区别 时域离散信号和数字信号之间的差别，仅在于数字信号存在量化误差。 数字信号处理实现方法 数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。 软件实现 按原理和算法，编写程序在通用计算机实现。 优点：灵活 缺点：运算速度慢，难以达到实时处理效果。 适合算法研究和仿真。 硬件实现 按照具体的要求和算法，设计硬件结构图，用乘法器、加法器、延时器、控制器、存储器以及输人输出接口等基本部件实现。 优点：运算速度快，可实时处理 缺点：不灵活 硬件实现指的是选用合适的 DSP 芯片，配有适合芯片语言及任务要求的软件，实现某种信号处理功能的一种方法。 专用芯片 采用专用的 数字信号处理芯片（DSP 芯片） 是目前发展最快、应用最广的一种方法。因为 DSP 芯片比通用单片机有更为突出的优点，它结合了数字信号处理的特点，内部配有乘法器和累加器，结构上采用了流水线工作方式以及并行结构、多总线，且配有适合数字信号处理的指令，是一类可实现高速运算的微处理器。 对于更高速的实时系统，DSP 的速度也不满足要求时，应采用可编程超大规模器件（FPGA）或开发专用芯片来实现。 数字信号处理特点 相比于模拟信号处理，数字信号处理具有以下特点： 灵活性 高精度和高稳定性 便于大规模集成 可以实现模拟系统无法实现的诸多功能，如储存、复杂变换和运算。 信号维度 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。 如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。 时域离散信号与系统 时域离散信号 实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。 模拟信号 $x_a(t)$ ，离散时间点 $t_n$ 。 均匀采样（等间隔采样）时，采样间隔 $T$ ，$t_n=nT$ $$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT),- \infty<n<\infty $$ $x(n)$ 称为时域离散信号，$n$ 取整数，得到序列 $$ x(n)=\{\cdots ,x_a(-2T),x_a(-T),x_a(0),x_a(T),x_a(2T),\cdots \} $$ 时域离散信号也称序列。 序列表示方法 集合符号 数的集合用集合符号 $\{\cdot \}$ 表示，时域离散信号可表示为有序的数的集合。 集合中有下划线的元素表示 $n=0$ 时刻的采样值。 公式表示 Example: $$ x(n)=a^{|n|},0<a<1,-\infty<n<\infty $$ 图形表示 横坐标为 $n$ ，纵坐标为 $x$ 的值，竖线顶端加黑点。 常用典型序列 单位脉冲序列 $\delta(n)$ $$ \delta(n)= \begin{cases} 1 & n=0\\ 0 & n \ne 0\\ \end{cases} $$ 也称单位采样序列，不同于单位冲激信号 $\delta(t)$ 。 单位阶跃序列 $u(n)$ $$ u(n)= \begin{cases} 1 & n \ge 0\\ 0 & n < 0\\ \end{cases} $$ $$ \delta(n)=u(n)-u(n-1) $$ $$ u(n)=\sum^{\infty}_{k=0}\delta(n-k) $$ 矩形序列 $R_N(n)$ $$ R_N(n)= \begin{cases} 1 & 0 \le n \le N-1\\ 0 & Others \end{cases} $$ $N$ 称为矩形序列长度，矩形序列可用单位阶跃序列表示。 $$ R_N(n)=u(n)-u(n-N) $$ 实指数序列 $$ x(n)=a^n u(n),a 为实数 $$ $|a|<1$ 时称 $x(n)$ 为收敛序列 $|a|>1$ 时称 $x(n)$ 为发散序列 正弦序列 $$ x(n)=\sin (\omega n) $$ $\omega$ 称为正弦序列的数字域频率（数字频率），单位为弧度 $rad$ ，表示序列变化速率（相邻两个序列值之间相位变化的弧度数）。 模拟角频率 $\varOmega$，若正弦序列由模拟信号 $x_a(t)=\sin (\varOmega t)$ 采样得到 $$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=\sin (\varOmega nT)=\sin (\omega n) $$ 则得到数字频率与模拟角频率的关系 $$ \omega=\varOmega T $$ 采样频率 $F_s=\frac{1}{T}$ ，因此 $$ \omega=\frac{\…

空气动力学基础（持续更新）
type: item
date: 2024-09-02T22:13:00+08:00
description: 流体静力学基础 气体性质 压缩性 体积弹性模数 定义：产生单位相对体积变化所需压强增高 $$ E=-\frac{dp}{dV/V} $$ 对于一定质量气体，体积与密度成反比例关系，即 $$ \frac{d \rho}{\rho}=-\frac{dV}{V} $$ 回代得 $$ E=\rho \frac{dp}{d \rho} $$ 常温下水的体积弹性模数：$2.1 \times 10^9N/m^2$ 通常情况下水可视为不可压缩流体。 粘性 牛顿粘性定律 流体运动所产生的摩擦阻力与接触面积成正比 $$ \tau =\mu \frac{du}{d \vec{n}} $$ $\tau$ ：摩阻应力，单位面积上的摩擦阻力 $\vec{n}$ ：接触面法线方向 $\mu$ ：比例常数，称为流体的粘性系数，单位为 $N \cdot s/m^2$ $\frac{du}{d \vec{n}}$ ：速度梯度 不同流体介质粘性系数值各不相同，并且粘性系数随温度变化，与压强基本无关。 气体粘性系数随温度升高而增大。 萨特兰公式 空气粘性系数随温度变化关系，近似公式之一萨特兰公式 $$ \frac{\mu}{\mu_0}=(\frac{T}{288.15})^{1.5}\frac{288.15+C}{T+C} $$ $\mu_0$ ：温度为 $288.15K$ 时空气粘性系数 $C$ ：常数，值为 $110.4K$ 运动粘性系数 $$ \nu=\frac{\mu}{\rho} $$ $\nu$ ：运动粘性系数，单位为 $m^2/s$ $\mu$ ：粘性系数 $\rho$ ：密度 传热性 定义：当气体中沿某一方向存在温度梯度时，热量就会由温度高的地方传向温度低的地方，这种性质称为气体的传热性。 单位时间内所传递热量与传热面积成正比，与沿热流方向的温度梯度成正比，即 $$ q=-\lambda \frac{\partial T}{\partial \vec{n}} $$ $q$ ：单位时间通过单位面积热量，单位 $kJ/(m^2 \cdot s)$ $\frac{\partial T}{\partial \vec{n}}$ ：温度梯度，单位为 $K/m$ $\lambda$ ：导热系数，单位为 $kJ/(m \cdot K \cdot s)$ 负号表示热量传递方向永远与温度梯度方向相反。 流体分类 连续介质假设 理想流体 不考虑粘性，在这种模型中，流体微团不承受粘性力作用。常用于气体。 忽略粘性的气体称为理想气体。 压强各向同性 理想流体内一点处的压强与受压面的方位无关，它仅是空间坐标的连续函数。 不可压流体 不考虑气体压缩性或弹性，可认为体积弹性模数无穷大，或流体密度为常数。常用于液体。 求解不可压流体的流动规律，只需要服从力学定律，不需要考虑热力学关系。 对流速较低的气体，也可按不可压流体处理流动问题。 绝热流体 不考虑流体传热性的模型，即把流体热导系数看作零。低速流动的空气一般热导系数值很小，可视为绝热。 不考虑气体微团之间热传导作用的气体模型称之为绝热气体。 完全气体 任何状态下，气体的压强、密度和温度之间都存在一定的函数关系 $$ p=p(\rho,T) $$ 完全气体的状态方程 $$ p=\frac{\overline{R}}{m}\rho T $$ $\overline{R}$ ：普适气体常数，$8315m^2/(s^2 \cdot K)$ $m$ ：某种气体相对分子质量 $R=\frac{\overline{R}}{m}$ 时， $$ p=\rho R T $$ $R$ 为气体常数，空气约为 $287.035m^2/(s^2 \cdot K)$ 流体微团受力 压力 切应力（摩擦力） 彻体力 重力 电磁力 离心力 静平衡方程 在==静止流体==中取一点 $P$，压强为 $p$ 构建笛卡尔坐标系，流体内各点处压强为 $$ p(x,y,z) $$ 以 $P$ 为中心构建各边平行于坐标轴的长方体，边长为 $dx,dy,dz$ 观察 $x$ 轴方向，两面受压力大小分别为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)+(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ 流体微团 $x$ 轴方向受彻体力为 $$ f_x \rho dx dy dz $$ $f_x$ 为单位质量上所受彻体力在 $x$ 轴方向分力。 因为是静止流体，流体微团受力平衡。 $x$ 轴方向力平衡方程为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\par…

自动拨号上网与任务计划程序
type: item
date: 2024-06-12T19:34:00+08:00
description: 破事氵 台式电脑通过网线连校园网要拨号上网，幽默腾子几百年没更新的TIM登录时没网会报错弹窗。 于是每次开机我都得手动打开设置里的拨号上网，设置的TIM开机自启动会先行一步报错，显得开机自启动这个功能很幽默。 于是写个bat自动联网，任务管理器里设置开机自启动。但它启动和TIM是同一个优先级，往往来不及连上网络TIM就自动登录然后报错弹窗了。 在计划程序库里把自动联网程序设置为开机启动，TIM登录后延时15s启动。 （为方便记忆我把bat放startup文件夹里，开机联网计划程序设为最高优先级隐藏，幽默火绒检测不到的计划程序不让运行，以至于调试好几次都是登陆后才开始联网，我一度以为哪里设置有问题。） 但这样又显得花68大洋买指纹识别器的我很幽默。 不知道万能的好友列表里有没有懂计算机的大佬有更好的解决方案。 有一个无线网卡，但性能不好。连接校园网时常要网页验证，我设了梯子开机自启动，挂着梯子就打不开学校网络验证的网页，得先关梯子->网页验证->开梯子->关TIM报错弹窗->重启TIM。让人十分乃至九分的火大。 拨号上网程序 先新建文本文档（txt），写入下面内容后保存，更改文件名为想要的名称（如reconnect internet，最好为英文），拓展名改为bat。 rasdial 你的宽带网络名称（如宽带连接，最好用英文） 账号（如学号） 密码 开机自动拨号与断网重连 Windows图标（开始）右键->计算机管理->任务计划程序->任务计划程序库 右边创建任务->设置任务名称（如断网重连）->不管用户是否登录都要运行->使用最高管理权限运行（可选）->不要隐藏！！！->配置根据自身电脑选（比如Windows11选择最接近的Win10） 触发器->新建->开始任务选择“启动时”->确定（开机联网） 新建->开始任务选择“发生事件时”->日志翻到最下面倒数第二个“应用程序”->源“RasClient”->确定（断网重连） 转到操作->新建->启动程序->浏览找到你刚写的bat程序选中->确认 确认（此时会要求输入Windows系统登录的微软账号密码，不是PIN，总是出错建议检查常规页面里的用户账户是否匹配。）

热力学与统计物理
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date: 2024-06-06T00:00:00+08:00
description: 物理量 内能 U $$ \Delta U=Q+W $$ Q为系统吸热，W为系统对外做功 熵 S 熵是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数，也就是当总体的熵增加，其做功能力也下降，熵的量度正是能量退化的指标。 ==可逆过程==中 $$ \Delta S=\frac {Q}{T} $$ Q：在一个可逆过程中，系统在恒温情况下吸热 焓 H $$ H=U+pV $$ 自由能 F $$ F=U-TS $$ 系统内能-不能做工的能量=能做工的能量（自由能） 吉布斯函数（自由焓）G $$ G=F+pV=U-TS+pV=H-TS $$ 化学势 $\mu$ $$ \mu=(\frac{\partial G}{\partial n})_{T,p}=G_m $$ 其中： n：物质的量（$mol$） $G_m$：摩尔吉布斯函数 方程 状态函数全微分 (可逆过程) 内能全微分（热力学基本方程） $$ dU=dQ+dW=TdS-pdV $$ 即$U=U(S,V)$ $$ (\frac{\partial U}{\partial S})_V=T,(\frac{\partial U}{\partial V})_S=-p $$ $\because$ U二阶偏导相等 $\therefore$ 得到第一麦氏关系： $$ (\frac{\partial T}{\partial V})_S=-(\frac{\partial p}{\partial S})_V $$ 焓全微分 $$ dH=dU+d(pV)=TdS-pdV+pdV+Vdp=TdS+Vdp $$ 自由能全微分 $$ dF=-SdT-pdV $$ 吉布斯函数全微分 $$ dG=-SdT+Vdp $$ 熵全微分 $$ dS=\frac{dU+pdV}{T} $$ 麦氏关系 麦氏关系（Maxwell Relations）是在热力学中描述状态变量之间关系的重要方程。 以下是四个麦氏关系： 第一麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_S = - \left ( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_V $$ 第二麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_S = \left ( \frac{\partial V}{\partial S} \right)_P $$ 第三麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = \left ( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V $$ 第四麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial P} \right)_T = -\left ( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P $$ 推论： $$ C_p-C_V=T(\frac{\partial p}{\partial T})_V(\frac{\partial V}{\partial T})_p $$ 对于理想气体$pV=nRT$ 带入得 $$ C_p-C_V=nR,为常数 $$ 物态方程 定义：温度与状态参量之间的函数关系方程。 $$ f(p,V,T)=0 $$ 理想气体物态方程 $$ pV=nRT=NkT $$ n：物质的量 R：气体常数 N：系统总粒子数 k：玻尔兹曼常数范德瓦尔兹方程 $$ (p+\frac{an^2}{V^2})(V-nb)=nRT $$ a、b为常数常见系数 体胀系数$\alpha$ $$ \alpha=\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial T})_p=\frac{1}{T},理想气体 $$ 压强系数$\beta$ $$ \beta=\frac{1}{V}(\frac{\partial p}{\partial T})_V=\frac{1}{T},理想气体 $$ 等温压缩系数$\kappa_T$ $$ \kappa_T=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial P})_T=\frac{1}{p},理想气体 $$ 热容C $$ C=\lim_{\Delta T \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta T} $$ 定容热容$C_V$ $$ C_V=(\frac{\partial U}{\partial T})_V=T(\frac{\partial S}{\partial T})_V $$ 定压热容$C_p$ $$ C_p=(\frac{\partial H}{…

实数建立读书报告
type: item
date: 2023-12-27T21:40:00+08:00
description: Real Number Foundation Book Report 借着这次数学分析大作业的机会写写实数建立。 实数的建立是数学基础理论的一部分，涉及到许多数学分支，包括数学逻辑、集合论、代数结构等。数学家们通过对这些基本概念和性质的严密推导，构建了实数系统，为数学的发展提供了坚实的基础。这个过程在数学史上经历了漫长的发展，由许多数学家共同贡献。 1. 书籍信息 1.1 Mathematical Analysis 作者： Tom A. Apostol 出版年： 1973 简介：《数学分析》是Tom M. Apostol的经典之作，系统介绍了数学分析的基础知识，包括实数系统、极限、连续性等。作者以清晰的逻辑和深刻的洞察力，帮助读者建立对实数的深刻理解。1.2 实分析与泛函分析(Real analysis and functional analysis) 作者： 匡继昌 出版年： 2002 简介：《实分析与泛函分析》是一本由匡继昌教授编写的高等数学教材，主要介绍了实分析和泛函分析的基本本概念、理论和方法。本书的特点是用集合和映射将传统的实变函数论、测度论和泛函分析三门课课融合为一门新的现代分析基础教程。1.3 实分析与复分析(Real and Complex Analysis) 作者： Walter Rudin 出版年： 2006 简介： 本书是分析领域内的一部经典著作。全书体例优美，实用性很强，列举的实例简明精彩。无论实分析部分还是复分析部分，基本上对所有给出的命题都进行了论证。1.4 Real Analysis 作者： Halsey Royden, Patrick Fitzpatrick 出版年： 2010 简介： 这本书已经成为数学分析学科的经典之一，为数学学生提供了深刻的理论基础。在第五版中，作者进行了重要的更新，包括对测度论、积分论以及度量、拓扑、希尔伯特和巴拿赫空间等现代分析学者应了解的主题的全面涵盖。2. 实数系统 实数系统是数学分析的基石，Apostol在他的书中详细介绍了实数的定义和性质。实数具有完备性和稠密性等重要特征，构成了数学分析的基础。 实数的建立涉及数学的基本概念和系统的构建。实数系统是对实际数量的完整描述，包括整数、有理数和无理数。 2.1 有理数的引入 自然数的引入： 实数系统的起点是自然数，即1, 2, 3, 4, ...。这些数用于计数和排序。 整数的引入： 为了解决减法问题，引入了零和负整数。这样，整数系统包括正整数、零和负整数。 有理数的引入： 尽管整数解决了减法的问题，但在除法运算方面还存在限制。例如，尝试计算 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{2}{7}$ 时，我们发现这样的数并不在整数集合中。因此，引入有理数的概念，使得任意两个整数的比例也属于一个新的数集。有理数系统是对整数系统的扩展，使得任何两个有理数之间都存在一个有理数，目的是弥补整数集合中存在的一些不足。 有理数的性质： 有理数具有一些重要的性质，包括加法、减法、乘法和除法的封闭性。这意味着任意两个有理数的和、差、积和商仍然是有理数。这些性质使得有理数成为一个完备的数系。 2.2 无理数的引入 有理数的局限性： 虽然有理数可以表示绝大多数的数值，但有一些数，例如平方根的值（如$\sqrt{2}$无法被表示为两个整数的比值。尝试表示这些数时，我们发现无法找到整数 $a$ 和 $b$ 使得 $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$。 无理数的定义： 为了弥补有理数无法表示的缺陷，引入了无理数的概念。无理数是不能表示为两个整数之比的数，或者说，无理数是不是有理数的数。 超越无理数： 超越无理数是不能成为任何代数方程的根的无理数。例如，$e$ 和 $\pi$ 都是超越无理数。这些数无法通过有限次代数运算得到。 2.3 实数完备性证明 实数系统是一个完备的系统，即实数轴上的任何无限序列都有一个极限。这一性质使得实数系统在数学分析中具有强大的工具，特别是在处理极限、连续性和收敛性等方面。 证明方法 确界原理 上确界的定义： 上确界的存在： 对于实数集合 $S$，如果存在一个实数 $M$，使得 $M$ 是 $S$ 的上界，而且对于任意小于 $M$ 的实数 $m$，存在 $S$ 中的元素 $s$，使得 $m < s$，则称 $M$ 是 $S$ 的上确界。 例子： 考虑集合 $S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \}$，即 $S$ 包含所有在开区间 $(0, 1)$ 中的实数。这个集合的上确界是1。 实数的完备性： 单调有界序列的极限： 实数系统中的单调有界序列必有极限。设 $\{ a_n \}$ 是一个单调递增有界序列，则存在实数 $L$，使得 $\lim_{n \to \inft…

留数定理与洛朗级数、高阶导数公式和柯西积分公式之间的关系或联系
type: item
date: 2023-12-20T08:54:00+08:00
description: 1. 留数定理（Residue Theorem）： 留数定理是复变函数理论中的一个关键结果，它建立在留数的概念之上。留数定理的核心思想是，如果在一个包含孤立奇点的闭曲线内，函数在这个曲线上处处解析，那么曲线内的整体积分等于函数在奇点处的留数之和。 2. 洛朗级数（Laurent Series）： 洛朗级数是一种复变函数的展开形式，可以表示为无穷级数的形式，包括正次幂和负次幂。具体而言，一个复函数在一个环形区域内的洛朗级数表示如下： $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$ 其中，$c_n$是系数，而$z_0$是展开点。 3. 高阶导数公式： 复变函数的高阶导数公式和实变函数有些相似，但在复平面上的运算需要注意。如果一个函数在某点解析，那么它在该点处的高阶导数可以通过对幂级数逐项求导得到。 4. 柯西积分公式（Cauchy's Integral Formula）： 柯西积分公式是复分析中的一个基本结果，它建立了解析函数和其在围道上的积分之间的关系。具体而言，如果函数$f(z)$在一个简单闭合曲线内解析，那么对于这个曲线内的任意点$z_0$，有： $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$ 其中，$C$是包围$z_0$的简单闭合曲线。 关系和联系： 留数定理与洛朗级数： 留数定理可以用来计算闭合曲线内函数的积分，而洛朗级数展开可以帮助我们理解函数在奇点附近的性质，从而求得留数。 留数定理与高阶导数公式： 留数定理可以通过对函数在奇点处的洛朗级数展开，然后逐项求导，来计算高阶导数。 留数定理与柯西积分公式： 柯西积分公式可以用来计算函数在围道上的积分，而留数定理是柯西积分公式的一种特例，其中围道内只有有限个孤立奇点。 1. 留数定理的洛朗级数证明： 留数定理： 留数定理的表述为： 如果$f(z)$在包含孤立奇点$z_0$的闭曲线内处处解析，那么曲线内的整体积分等于函数在奇点处的留数之和。 洛朗级数展开： $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$ 其中，$c_n$是留数。 证明步骤： 洛朗级数的求解： 通过复变函数的洛朗级数展开，我们有 $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$ 其中，$c_n$是由留数计算得到的系数。 积分的计算： 对洛朗级数进行积分： $$\oint_C f(z) \, dz = \oint_C \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n \right) \, dz$$ 积分与求和次序交换： 由于积分与求和次序可以交换，我们得到： $$\oint_C f(z) \, dz = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \oint_C c_n (z - z_0)^n \, dz$$ 留数定理的应用： 对于$n \neq -1$，由于$c_n$不含$z^{-1}$，积分结果为零。只有$n = -1$项会贡献非零积分。 $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot c_{-1}$$ 结论： 最终得到留数定理的结论： $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot c_{-1}$$ 2. 留数定理到高阶导数公式的证明： 留数定理： 留数定理的表述为： 如果$f(z)$在包含孤立奇点$z_0$的闭曲线内处处解析，那么曲线内的整体积分等于函数在奇点处的留数之和。 高阶导数公式： 复变函数的高阶导数公式如下： 如果$f(z)$在某点$z_0$处解析，那么它在该点的$n$阶导数可以表示为： $$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz$$ 其中，$C$是包围$z_0$的简单闭合曲线。 证明步骤： 留数定理的应用： 根据留数定理，我们知道 $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0)$$ 洛朗级数的求解： 类似于前面的讨论，我们可以将$f(z)$在$z_0$处展开为洛朗级数： $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$ 高阶导数的计算： 利用洛朗级数，我们可以计算$f^{(n)}(z_0)$： $$f^{(n)}(z_0) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} n(n-1)\ldots(n-k+1)…

复变函数
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date: 2023-11-17T19:42:00+08:00
description: 复数 复数的表达形式：$$z = r\cdot e^{i\theta} = r(cos\theta +i\cdot sin\theta)$$ 几种初等函数 指数函数：$e^z = e^x(cosy+isiny)$ $e^z只是expz的缩写，并没有幂的含义$ $|e^z| = e^x,Arg(e^z) = y+2k\pi$ 对数函数：$Lnz =ln|r|+iArgz$ 函数在除去原点和负实轴的$z$平面内解析，且$(Lnz)' = \frac{1}{z}$ 三角函数 $cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ $chz = \frac{e^z+e^{-z}}{2},shz = \frac{e^z-e^{-z}}{2}$解析函数 可导的定义：$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} 极限存在，就称f(z)在z_0可导$$ 解析的定义：$$函数f(z)在z_0及z_0的邻域内处处可导，就称f(z)在z_0处解析$$ 推论：解析函数的和、差、积、商也是解析函数，解析函数的复合也是解析函数。 可导、解析的充要条件：$u(x),v(x)可微$，并且满足柯西-黎曼方程$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$若有一个不满足，则既不可导也不解析。 推论：$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$复变函数的积分 重要公式 $$\oint_{|z-z_0|=r}\frac{1}{(z-z_0)^n}dz=\begin{cases} 2\pi i ,n =1\\ \text 0,\quad n\neq 1 \end{cases} $$ 柯西-古萨基本定理 在解析，单连通的区域内的任意闭合曲线积分值为0，即$$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = 0$$ 复合闭路定理——柯西积分定理向多连通推广 C为解析、多连通区域内的简单闭曲线，$C_1,C_2 \cdots C_n$为C内同向的简单闭曲线，$$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k}f(z)dz $$ 柯西积分公式——将曲线C内部任意一点的值用它边界的值来表示 $f(z)$在区域D内解析，C为D内一条正向简单闭曲线$$2\pi i\cdot f(z_0) = \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0}dx$$ 柯西积分公式的高阶推广——用函数的高阶导数来求积分 $$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$级数 幂级数 解析函数的两个性质 解析函数具有任意阶导数 解析函数都一定可以用幂级数来表示 泰勒展开$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$ 求泰勒展开的方法高等数学#函数展开为幂级数洛朗级数 双边幂级数 收敛域是圆环域$R_1<|z-z_0|<R_2$ 洛朗展开:$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,c_n=\frac{1}{2\pi i}\cdot \oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$ 推论：当$n$取$-1$时，$c_{-1}\cdot 2\pi i=\oint_Cf(z)dz$ 求洛朗展开的方法 用定义来算出来$c_n$(几乎不用) 运用代数运算、代换等方法，使得洛朗级数变为泰勒级数的形式和收敛域留数 孤立奇点 定义：$f(z)$在$z_0$处不解析，但在$z_0$的某一去心邻域内处处解析 孤立奇点的分类（根据洛朗级数的负幂项） 可去奇点：不含有负幂项 ，因此当$z\to z_0$时$f(z)$的极限为有限数 极点：含有有限个负幂项（若有m个负幂项，则称$z_0$为$f(z)$的m级极点），当$z\to z_0$时$f(z)$的极限为$\infty$. 本性奇点：含有无限个负幂项，$f(z)$的极限不存在 极点和零点的关系 零点的…

python基础数据结构（2023.11.17更新）
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date: 2023-08-27T21:40:00+08:00
description: elem是单词element（元素）的缩写，在程序定义中代表某一不确定的类型，也就是抽象的数据类型。 list 定义 由一系列元素按顺序进行排列而成的容器 元素可以是任意类型 元素按确定顺序排列，具有有序性创建列表 先创建空列表实例再添加元素 list() .append()方法>>>wife = list()#实例化 >>>wife.append("西宫硝子") >>>wife.append("樱岛麻衣") >>>wife.append("爱莉希雅") >>>wife ['西宫硝子','樱岛麻衣','爱莉希雅'] 直接定义列表并填充元素 >>> phones = ["Apple", "Huawei", "Xiaomi"] >>> phones ['Apple', 'Huawei', 'Xiaomi'] 查看元素 使用索引 用$[i]$查看第i+1个元素 index()方法 $$name.index(x)$$ 在list name中查找第一个值为x的元素，返回其索引 count()方法 $$name.count(x)$$ 在list name中查看有几个元素为x，返回个数 len()方法 $$name.len()$$ 查找list name中元素总个数，返回个数新增元素 append()方法 $$name.append(x)$$ 向name末尾添加元素x insert()方法 $$name.insert(i,x)$$ 将对象x插入name索引为i处，原来i以及i后面的元素顺位后移 extend()方法 $$name.extend(name2)$$ 将list name2接在list name 后面修改元素 用索引指明元素直接赋值修改 删除元素 pop()方法 $$name.pop()$$ 默认删除list最后一个元素 $$name.pop(i)$$ 删除索引为i的元素，后面的元素顺位前移 remove()方法 $$name.remove(x)$$ 删除第一个值为x的元素，后面的元素顺位前移 clear()方法 $$name.clear()$$ 删除所有元素（清空list） del语句 $$del\ name[a:b]$$ 删除del索引$[a,b)$的元素，包括a不包括b $del\ name[:]$表示清空list $$del\ name[i]$$ 删除索引为i的元素反转列表 reverse()方法 $$name.reverse()$$ 将列表name反转，最后一个元素变为第一个元素以此推类。 切片法>>> nums=[1,2,3,4,5] >>> new_nums=nums[::-1] >>> new_nums [5,4,3,2,1] 原对象nums不变，产生新对象new_nums为反转列表 列表排序 sort()方法 $$name.sort()$$ $$name.sort(cmp=None,key=None,reverse=False)$$ 该方法无返回值，会直接修改原list cmp为可选参数， key指明用元素的哪个参数作为比较权重，只有一个参数，取自比较的可迭代对象 当比较元素elem仅包含一个参数（比如数字或单个字符）时，可省略key参数。 # 获取列表的第二个元素 def takeSecond(elem): return elem[1] # 列表 random = [(2, 2), (3, 4), (4, 1), (1, 3)] 指定第二个元素排序 random.sort(key=takeSecond) 通过函数takeSecond指定比较元组第二个元素（权重） 输出类别 print('排序列表：') print(random) 排序列表： [(4, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 4)] - reverse为排序规则，默认False升序，True为降序 # tuple ## 定义 元组（tuple），由一系列元素按顺序进行排列形成的容器 元组不可变（immutable），列表可变（mutable） ## 创建元组 1. 直接使用$()$将所有元素包围，创建list是使用$[]$ 2. 有时不使用$()$也能创建元组（不建议） 3. 元组推导式 ```python atuple=(i+1 for i in range(31,42)) 当创建的元组仅包含一个对象时，在其后添加逗号$","$ 否则带小括号对象数据类型为对象类型而非元组 创建空元组a=tuple() b=() tuple不允许增删改查 tuple与list转换 tuple->list atuple=(1,'love',3.334,'Y') list(atuple) '''此时atuple仍为tuple类型''' alist=list(…