复数

1. 复数的表达形式：$$z = r\cdot e^{i\theta} = r(cos\theta +i\cdot sin\theta)$$
2. 几种初等函数
   1. 指数函数：$e^z = e^x(cosy+isiny)$
      1. $e^z只是expz的缩写，并没有幂的含义$
      2. $|e^z| = e^x,Arg(e^z) = y+2k\pi$
   2. 对数函数：$Lnz =ln|r|+iArgz$
      1. 函数在除去原点和负实轴的$z$平面内解析，且$(Lnz)' = \frac{1}{z}$
   3. 三角函数
      1. $cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
      2. $chz = \frac{e^z+e^{-z}}{2},shz = \frac{e^z-e^{-z}}{2}$

         解析函数

3. 可导的定义：$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} 极限存在，就称f(z)在z_0可导$$
4. 解析的定义：$$函数f(z)在z_0及z_0的邻域内处处可导，就称f(z)在z_0处解析$$
   推论：解析函数的和、差、积、商也是解析函数，解析函数的复合也是解析函数。
5. 可导、解析的充要条件：$u(x),v(x)可微$，并且满足柯西-黎曼方程$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$若有一个不满足，则既不可导也不解析。
   推论：$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$

   复变函数的积分

   重要公式
   $$\oint_{|z-z_0|=r}\frac{1}{(z-z_0)^n}dz=\begin{cases}
   2\pi i ,n =1\\
   \text 0,\quad n\neq 1
   \end{cases} $$

6. 柯西-古萨基本定理
   在解析，单连通的区域内的任意闭合曲线积分值为0，即$$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = 0$$
7. 复合闭路定理——柯西积分定理向多连通推广
   C为解析、多连通区域内的简单闭曲线，$C_1,C_2 \cdots C_n$为C内同向的简单闭曲线，$$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k}f(z)dz $$
8. 柯西积分公式——将曲线C内部任意一点的值用它边界的值来表示
9. $f(z)$在区域D内解析，C为D内一条正向简单闭曲线$$2\pi i\cdot f(z_0) = \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0}dx$$
10. 柯西积分公式的高阶推广——用函数的高阶导数来求积分
    $$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$

    级数

    幂级数

11. 解析函数的两个性质
    1. 解析函数具有任意阶导数
    2. 解析函数都一定可以用幂级数来表示
12. 泰勒展开$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$
13. 求泰勒展开的方法[[高等数学#函数展开为幂级数]]

    洛朗级数

14. 双边幂级数
    1. 收敛域是圆环域$R_1<|z-z_0|<R_2$
15. 洛朗展开:$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,c_n=\frac{1}{2\pi i}\cdot \oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$
    推论：当$n$取$-1$时，$c_{-1}\cdot 2\pi i=\oint_Cf(z)dz$
16. 求洛朗展开的方法
    1. 用定义来算出来$c_n$(几乎不用)
    2. 运用代数运算、代换等方法，使得洛朗级数变为泰勒级数的形式和收敛域

       留数

       孤立奇点

17. 定义：$f(z)$在$z_0$处不解析，但在$z_0$的某一去心邻域内处处解析
18. 孤立奇点的分类（根据洛朗级数的负幂项）
    1. 可去奇点：不含有负幂项 ，因此当$z\to z_0$时$f(z)$的极限为有限数
    2. 极点：含有有限个负幂项（若有m个负幂项，则称$z_0$为$f(z)$的m级极点），当$z\to z_0$时$f(z)$的极限为$\infty$.
    3. 本性奇点：含有无限个负幂项，$f(z)$的极限不存在
19. 极点和零点的关系
    1. 零点的定义：不恒等于零的解析函数$f(z)$,如果能表示成$f(z) = (z-z_0)^m\varphi(z)$,$则称z_0为f(z)的m级零点$.
       充要条件是：$f^{(n)}(z_0) = 0,(n<m)\quad f^{(m)}\ne 0$
    2. 如果$z_0为f(z)的m级零点$，$则称z_0为\frac{1}{f(z)}的m级极点$.

       留数

20. 定义：$$Res[f(z),z_0]=c_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)d_z$$
21. 留数的计算法则
    1. 如果$z_0为f(z)的一级极点$$$Res[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$
    2. 如果$z_0为f(z)的m级极点$$$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z)$$
    3. 如果$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},且P(z_0)\ne0,Q(z_0) =0,Q'(z_0)\ne0$$$Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$$
    4. $$Res[f(z),\infty]=-Res[f(\frac{1}{z})\cdot\frac{1}{z^2},0]$$