复数

  1. 复数的表达形式:z=reiθ=r(cosθ+isinθ)
  2. 几种初等函数
    1. 指数函数:ez=ex(cosy+isiny)
      1. ez只是expz的缩写,并没有幂的含义
      2. |ez|=ex,Arg(ez)=y+2kπ
    2. 对数函数:Lnz=ln|r|+iArgz
      1. 函数在除去原点和负实轴的z平面内解析,且(Lnz)=1z
    3. 三角函数
      1. cosz=eiz+eiz2,sinz=eizeiz2i
      2. chz=ez+ez2,shz=ezez2

        解析函数

  3. 可导的定义:limΔz0f(z0+Δz)f(z0)Δz极限存在,就称f(z)z0可导
  4. 解析的定义:函数f(z)z0z0的邻域内处处可导,就称f(z)z0处解析
    推论:解析函数的和、差、积、商也是解析函数,解析函数的复合也是解析函数。
  5. 可导、解析的充要条件:u(x),v(x)可微,并且满足柯西-黎曼方程ux=vy,uy=vx若有一个不满足,则既不可导也不解析。
    推论:f(z)=ux+ivx=1iuy+vy

    复变函数的积分

    重要公式
    |zz0|=r1(zz0)ndz={2πi,n=10,n1

  6. 柯西-古萨基本定理
    解析,单连通的区域内的任意闭合曲线积分值为0,即Cf(z)dz=0
  7. 复合闭路定理——柯西积分定理向多连通推广
    C为解析、多连通区域内的简单闭曲线,C1,C2Cn为C内同向的简单闭曲线,Cf(z)dz=k=1nCkf(z)dz
  8. 柯西积分公式——将曲线C内部任意一点的值用它边界的值来表示
  9. f(z)在区域D内解析,C为D内一条正向简单闭曲线2πif(z0)=cf(z)zz0dx
  10. 柯西积分公式的高阶推广——用函数的高阶导数来求积分
    f(n)(z0)=n!2πiCf(z)(zz0)n+1dz

    级数

    幂级数

  11. 解析函数的两个性质
    1. 解析函数具有任意阶导数
    2. 解析函数都一定可以用幂级数来表示
  12. 泰勒展开f(z)=n=0f(n)(0)n!zn
  13. 求泰勒展开的方法[[高等数学#函数展开为幂级数]]

    洛朗级数

  14. 双边幂级数
    1. 收敛域是圆环域R1<|zz0|<R2
  15. 洛朗展开:f(z)=n=cn(zz0)n,cn=12πiCf(z)(zz0)n+1dz
    推论:当n1时,c12πi=Cf(z)dz
  16. 求洛朗展开的方法
    1. 用定义来算出来cn(几乎不用)
    2. 运用代数运算、代换等方法,使得洛朗级数变为泰勒级数的形式和收敛域

      留数

      孤立奇点

  17. 定义:f(z)z0处不解析,但在z0的某一去心邻域内处处解析
  18. 孤立奇点的分类(根据洛朗级数的负幂项)
    1. 可去奇点:不含有负幂项 ,因此当zz0f(z)的极限为有限数
    2. 极点:含有有限个负幂项(若有m个负幂项,则称z0f(z)的m级极点),当zz0f(z)的极限为.
    3. 本性奇点:含有无限个负幂项,f(z)的极限不存在
  19. 极点和零点的关系
    1. 零点的定义:不恒等于零的解析函数f(z),如果能表示成f(z)=(zz0)mφ(z),则称z0f(z)m级零点.
      充要条件是:f(n)(z0)=0,(n<m)f(m)0
    2. 如果z0f(z)m级零点则称z01f(z)m级极点.

      留数

  20. 定义:Res[f(z),z0]=c1=12πiCf(z)dz
  21. 留数的计算法则
    1. 如果z0f(z)的一级极点Res[f(z),z0]=limzz0(zz0)f(z)
    2. 如果z0f(z)m级极点Res[f(z),z0]=1(m1)!limzz0dm1dzm1(zz0)mf(z)
    3. 如果f(z)=P(z)Q(z),P(z0)0,Q(z0)=0,Q(z0)0Res[f(z),z0]=P(z0)Q(z0)
    4. Res[f(z),]=Res[f(1z)1z2,0]
Last modification:December 20, 2023
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