复数
- 复数的表达形式:
- 几种初等函数
- 指数函数:
- 对数函数:
- 函数在除去原点和负实轴的
平面内解析,且
- 函数在除去原点和负实轴的
- 三角函数
解析函数
- 指数函数:
- 可导的定义:
- 解析的定义:
推论:解析函数的和、差、积、商也是解析函数,解析函数的复合也是解析函数。 - 可导、解析的充要条件:
,并且满足柯西-黎曼方程 若有一个不满足,则既不可导也不解析。
推论:复变函数的积分
重要公式
- 柯西-古萨基本定理
在解析,单连通的区域内的任意闭合曲线积分值为0,即 - 复合闭路定理——柯西积分定理向多连通推广
C为解析、多连通区域内的简单闭曲线, 为C内同向的简单闭曲线, - 柯西积分公式——将曲线C内部任意一点的值用它边界的值来表示
在区域D内解析,C为D内一条正向简单闭曲线- 柯西积分公式的高阶推广——用函数的高阶导数来求积分
级数
幂级数
- 解析函数的两个性质
- 解析函数具有任意阶导数
- 解析函数都一定可以用幂级数来表示
- 泰勒展开
- 求泰勒展开的方法[[高等数学#函数展开为幂级数]]
洛朗级数
- 双边幂级数
- 收敛域是圆环域
- 收敛域是圆环域
- 洛朗展开:
推论:当 取 时, - 求洛朗展开的方法
- 用定义来算出来
(几乎不用) - 运用代数运算、代换等方法,使得洛朗级数变为泰勒级数的形式和收敛域
留数
孤立奇点
- 用定义来算出来
- 定义:
在 处不解析,但在 的某一去心邻域内处处解析 - 孤立奇点的分类(根据洛朗级数的负幂项)
- 可去奇点:不含有负幂项 ,因此当
时 的极限为有限数 - 极点:含有有限个负幂项(若有m个负幂项,则称
为 的m级极点),当 时 的极限为 . - 本性奇点:含有无限个负幂项,
的极限不存在
- 可去奇点:不含有负幂项 ,因此当
- 极点和零点的关系
- 零点的定义:不恒等于零的解析函数
,如果能表示成 , .
充要条件是: - 如果
, .留数
- 零点的定义:不恒等于零的解析函数
- 定义:
- 留数的计算法则
- 如果
- 如果
- 如果
- 如果