数字信号处理基本概念
信号分类
- 连续信号：即模拟信号，时域连续信号。
- 时域离散信号：幅度取值连续，时间取值离散。
- 幅度离散信号：幅度取值离散，时间取值连续。
- 数字信号：幅度和时间都取离散值。
区别
时域离散信号和数字信号之间的差别，仅在于数字信号存在量化误差。
数字信号处理实现方法
数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。
软件实现
按原理和算法，编写程序在通用计算机实现。
- 优点：灵活
- 缺点：运算速度慢，难以达到实时处理效果。
- 适合算法研究和仿真。
硬件实现
按照具体的要求和算法，设计硬件结构图，用乘法器、加法器、延时器、控制器、存储器以及输人输出接口等基本部件实现。
- 优点：运算速度快，可实时处理
- 缺点：不灵活
硬件实现指的是选用合适的 DSP 芯片，配有适合芯片语言及任务要求的软件，实现某种信号处理功能的一种方法。
专用芯片
采用专用的 数字信号处理芯片（DSP 芯片） 是目前发展最快、应用最广的一种方法。因为 DSP 芯片比通用单片机有更为突出的优点，它结合了数字信号处理的特点，内部配有乘法器和累加器，结构上采用了流水线工作方式以及并行结构、多总线，且配有适合数字信号处理的指令，是一类可实现高速运算的微处理器。
对于更高速的实时系统，DSP 的速度也不满足要求时，应采用可编程超大规模器件（FPGA）或开发专用芯片来实现。
数字信号处理特点
相比于模拟信号处理，数字信号处理具有以下特点：
- 灵活性
- 高精度和高稳定性
- 便于大规模集成
- 可以实现模拟系统无法实现的诸多功能，如储存、复杂变换和运算。
信号维度
信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。
如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。
时域离散信号与系统
时域离散信号
实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。
模拟信号 $x_a(t)$ ，离散时间点 $t_n$ 。
均匀采样（等间隔采样）时，采样间隔 $T$ ，$t_n=nT$
$$
x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT),- \infty<n<\infty
$$
$x(n)$ 称为时域离散信号，$n$ 取整数，得到序列
$$
x(n)=\{\cdots ,x_a(-2T),x_a(-T),x_a(0),x_a(T),x_a(2T),\cdots \}
$$
时域离散信号也称序列。
序列表示方法
集合符号
数的集合用集合符号 $\{\cdot \}$ 表示，时域离散信号可表示为有序的数的集合。
集合中有下划线的元素表示 $n=0$ 时刻的采样值。
公式表示
Example:
$$
x(n)=a^{|n|},0<a<1,-\infty<n<\infty
$$
图形表示
横坐标为 $n$ ，纵坐标为 $x$ 的值，竖线顶端加黑点。
常用典型序列
单位脉冲序列 $\delta(n)$
$$
\delta(n)=
\begin{cases}
1 & n=0\\
0 & n \ne 0\\
\end{cases}
$$
也称单位采样序列，不同于单位冲激信号 $\delta(t)$ 。
单位阶跃序列 $u(n)$
$$
u(n)=
\begin{cases}
1 & n \ge 0\\
0 & n < 0\\
\end{cases}
$$
$$
\delta(n)=u(n)-u(n-1)
$$
$$
u(n)=\sum^{\infty}_{k=0}\delta(n-k)
$$
矩形序列 $R_N(n)$
$$
R_N(n)=
\begin{cases}
1 & 0 \le n \le N-1\\
0 & Others
\end{cases}
$$
$N$ 称为矩形序列长度，矩形序列可用单位阶跃序列表示。
$$
R_N(n)=u(n)-u(n-N)
$$
实指数序列
$$
x(n)=a^n u(n),a 为实数
$$
- $|a|<1$ 时称 $x(n)$ 为收敛序列
- $|a|>1$ 时称 $x(n)$ 为发散序列
正弦序列
$$
x(n)=\sin (\omega n)
$$
$\omega$ 称为正弦序列的数字域频率（数字频率），单位为弧度 $rad$ ，表示序列变化速率（相邻两个序列值之间相位变化的弧度数）。
模拟角频率 $\varOmega$，若正弦序列由模拟信号 $x_a(t)=\sin (\varOmega t)$ 采样得到
$$
x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=\sin (\varOmega nT)=\sin (\omega n)
$$
则得到数字频率与模拟角频率的关系
$$
\omega=\varOmega T
$$
采样频率 $F_s=\frac{1}{T}$ ，因此
$$
\omega=\frac{\varOmega}{F_s}
$$
数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。
复指数序列
$$
x(n)=e^{(\sigma+j \omega_0)n}=\cos(\omega_0 n)+j \sin(\omega_0 n)
$$
因为 $n$ 取整数，所以正弦序列和复指数序列都以 $2 \pi$ 为周期。
周期序列
如果对所有 $n$ 存在一个最小的正整数 $N$，使下面等式成立：
$$
x(n)=x(n+N),-\infty<n<\infty
$$
则称序列 $x(n)$ 为周期性序列，周期为 $N$ 。
序列运算
Easy
加法和乘法
位移、翻转、尺度变换
离散时域系统
系统输入为 $x(n)$ ，输出为 $y(n)$ ，运算关系用 $T[\cdot]$ 表示。
$$
y(n)=T[x(n)]
$$
线性系统
系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。
可加性
$$
y_1(n)=T[x_1(n)],y_2(n)=T[x_2(n)]
$$
$$
T[x_1(n)+x_2(n)]=y_1(n)+y_2(n)
$$
齐次性（比例性）
$$
T[a \times x(n)]=a \times y(n)
$$
时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系 $T[\cdot]$ 在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输人信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统。
$$
y(n)=T[x(n)]
$$
$$
y(n-n_0)=T[x(n-n_0)]
$$
线性时不变系统特点
完全响应=零输入响应+零状态响应
单位脉冲响应
初始状态为 0（无零输入响应）
$$
h(n)=T[\delta(n)]
$$
$$
x(n)=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)\delta(n-m)
$$
$$
\begin{align}
y(n)
&=T[x(n)]\\
&=T[\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)\delta(n-m)]\\
&=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)T[\delta(n-m)]\\
&=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)h(n-m)\\
&=x(n)*h(n)
\end{align}
$$
卷积相关知识见《信号与系统》
系统因果性
定义：如果系统 $n$ 时刻的输出只取决于 $n$ 时刻以及 $n$ 时刻以前的输入序列，而和 $n$ 时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。
==充要条件==：系统单位脉冲响应满足下式
$$
h(n)=0 \quad n<0
$$
系统稳定性
定义：如果对有界输入，系统产生的输出也是有界的，则称该系统具有稳定性，或称该系统为稳定系统。
==充要条件==：系统的单位脉冲响应绝对可和。
$$
\sum^{\infty}_{m=-\infty}|h(n)|<\infty
$$
